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组合数奇偶判断

【用杨辉三角阐释Lucas定理】https://www.bilibili.com/video/BV14F411P7ES?vd_source=67186f29c3efb728bcff34035cf5aba2

这个视频可以简单的领会一下精神，卢卡斯定理也就是用于组合数取模。

• 奇偶性通过对2取模来判断。

为什么提到“奇偶”“对2取摸”“杨辉三角”“卢卡斯定理”？

这就要引入一道题：
Problem - F - Codeforces

榜单清一色的
cout<<(((n-1)&i)==i?k:0)<<’ ';

实在捉摸不透，因而来解释一番

题意

求三角形第n行的数据。

三角形定义如下：

• 在i行有i个整数
• 第一行中的单个整数是 $k$ 。（k的值无关紧要，只考虑01）

$$T_{i,j}=\{\begin{array}{ll}{T}_{i-1,j-1}\oplus T_{i-1,j},& \text{if }1<j<i\\ T_{i-1,j},& \text{if }j=1\\ T_{i-1,j-1},& \text{if }j=i\end{array}$$

思路

1. 异或某种意义上来讲，是不进位的二进制加法。

​ 根据三角形定义，易知：此三角形正是杨辉三角对2取模

2. 由于杨辉三角和二项式、组合数的关系。只需求$C_{n-1}^i$%2， 0为0，1为k

3. 卢卡斯定理用于p(质数)较小的组合数取模

   根据Lucas定理，对于质数p（在这里p=2），组合数C(n, k)模p可以表示为一下两种形式（本文主要围绕第二种）：
   $$C_n^m=C_{\frac{n}{p}}^{\frac{m}{p}}\cdot C_{n\%p}^{m\%p}\%p$$

$$C(n,m)\equiv \prod _{i=0}^{r}C(n_i,m_i)(\mathrm{mod}p)$$

其中，n和m分别表示为p进制数（在这里是二进制），即 $$n=\sum _{i=0}^r{n}_i\cdot 2^i和m=\sum _{i=0}^r{m}_i\cdot 2^i$$。

总结：$C(n,m)(\mathrm{mod}2)$等于n的二进制表示中每个位上的数字与k的二进制表示中对应位上的数字进行“与”操作的结果的乘积。

• 由于我们考虑的是模2的情况，组合数$C(n_i,m_i)$模2只有两种结果：0或1。而$C(n_i,m_i)$模2为1当且仅当$n_i>=m_i$。

即,$C_0^0和C_1^1和C_1^0$=1,$C_0^1$为0

• 因此，C(n, m)模2为1当且仅当n和k的二进制表示中对应的每一位都满足$n_i>=m_i$，这等价于 $n_i和m_i$的“与”操作结果为1

综上

（n-1）&i==i 表示组合数$C_{n-i}^i$为奇数，反之，为偶数
若想了解公式一求解组合数，请转：
求组合数（递推法、乘法逆元、卢卡斯定理、分解质因数）_分解质因数求组合数-CSDN博客