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1. DBSCAN 算法简介

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DBSCAN 是一种基于密度的聚类算法，旨在发现任意形状的簇，并且对噪声点（outliers）具有鲁棒性。

DBSCAN 通过在数据空间中找到高密度区域，将这些区域作为簇，同时把孤立点（密度低的点）归为噪声。

DBSCAN 的基本思想是：

• 在某个点的邻域半径（$ϵ$，epsilon）内，如果有足够多的点（超过一个阈值 minPts），就认为这个区域是一个高密度区域，可以扩展成一个簇。
• 一个簇通过密度相连（density-connected）的点进行扩展。
• 无法归属于任何簇的点被认为是噪声点。

可以前往 DBSCAN 数据可视化网站来了解执行的流程。

2. DBSCAN 的基本概念

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• $ϵ$-邻域（Epsilon-neighborhood）
  对于某个点 $P$，以半径 $ϵ$ 为边界的区域内所有的点称为该点的 $ϵ$ 邻域。
• 核心点（Core Point）
  如果一个点 $P$ 的 $ϵ$ 邻域内至少有 minPts 个点（包括 $P$ 自己），那么它被称为核心点。
• 边界点（Border Point）
  如果一个点 $P$ 在某个核心的 $ϵ$ 邻域内，但自身不是核心点，它被称为边界点。
• 噪声点（Noise Point）
  如果一个点既不是核心点，也不属于任何核心点的领域，它被认为是噪声点。
• 密度直达（Directly Density-Reachable）
  如果点 $P$ 是核心点，并且点 $Q$ 在 $P$ 的 $ϵ$ 邻域内，那么 $Q$ 被称为 $P$ 的密度直达。
• 密度可达（Density-Reachable）
  如果存在一条核心点链表（$P_1\to P_2\to ...\to P_n$），使得每个点从前一个点密度直达，且 $P_1=P$，$P_n=Q$，则 Q 是从 P 密度可达的。
• 密度相连（Density-Connected）
  如果存在一个点 $O$，使得 $P$ 和 $Q$ 都从 $O$ 密度可达，则称 $P$ 和 $Q$ 是密度相连的。

3. DBSCAN 算法步骤

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• 初始化
  从数据集中任意选择一个点 $P$，判断它是否为核心点（即 $ϵ$ 邻域内是否包含至少 minPts 个点）。
• 扩展簇
  如果 $P$ 是核心点，则开始一个新簇，将 $P$ 及其邻域中的点加入簇中，并不断对新的核心点的邻域进行扩展。
• 处理噪声点
  如果一个点既不在任何簇中，也不满足成为核心点的条件，则将其标记为噪声点。
• 重复处理
  继续检查所有未访问的点，直到所有点都被访问为止。

4. DBSCAN 伪代码

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DBSCAN(D, epsilon, minPts):C = 0   # 初始化簇标签for each unvisited point P in dataset D:mark P as visitedNeighbors = getNeighbors(P, epsilon)    # 获取邻域内的所有点if size(Neighbors) < minPts:mark P as NOISE # 认为该点是噪声else:C = C + 1   # 创建新簇expandCluster(P, Neighbors, C, epsilon, minPts)expandCluster(P, Neighbors, C, epsilon, minPts):add P to cluster Cfor each point Q in Neighbors:if Q is not visited:mark Q as visitedNeighborsQ = getNeighbors(Q, epsilon)if size(NeighborsQ) >= minPts:Neighbors = Neighbors U NeighborsQ  # 扩展簇if Q is not yet assigned to any cluster:add Q to cluster C

5. DBSCAN 的时间复杂度分析

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• 邻域查询：在每次扩展时，需要查找一个点的 $ϵ$ 邻域。如果使用 KD-Tree 或 Ball-Tree 等空间索引结构，这个操作的复杂度为 $O(\log n)$。
• 总体复杂度：如果对每个点进行邻域查询，算法的时间复杂度为 $O(n\cdot \log n)$。如果不使用索引结构，最坏情况下是 $O(n^2)$。

6. DBSCAN 的 Python 实现

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方法一：使用 scikit-learn

聚类代码如下

from sklearn.cluster import DBSCAN
import numpy as np# 生成示例数据
X = np.array([[1, 2], [2, 2], [2, 3],[8, 7], [8, 8], [25, 80]])# 初始化 DBSCAN 模型
db = DBSCAN(eps=3, min_samples=2).fit(X)# 获取聚类标签
labels = db.labels_print("Cluster labels:", labels)

输出：

Cluster labels: [ 0 0 0 1 1 -1]

其中：

• 标签为 -1 的点表示噪声点
• 其他标签表示该点属于的簇

方法二：手动实现

import numpy as np
from sklearn.metrics import pairwise_distancesclass DBSCAN:def __init__(self, eps=1.0, min_samples=5):self.eps = epsself.min_samples = min_samplesdef fit(self, X):# 计算所有点之间的距离矩阵distances = pairwise_distances(X)# 初始化标签：0表示未访问，-1表示噪声labels = np.zeros(X.shape[0], dtype=int)cluster_id = 0for i in range(X.shape[0]):if labels[i] != 0:  # 已访问过的点跳过continue# 找到当前点的所有邻居neighbors = self._find_neighbors(i, distances)if len(neighbors) < self.min_samples:labels[i] = -1  # 标记为噪声else:cluster_id += 1self._expand_cluster(i, neighbors, labels, cluster_id, distances)self.labels_ = labelsreturn selfdef _find_neighbors(self, point_idx, distances):"""找到给定点的所有ε-邻域内的邻居"""return np.where(distances[point_idx] <= self.eps)[0]def _expand_cluster(self, point_idx, neighbors, labels, cluster_id, distances):"""从核心点扩展聚类"""labels[point_idx] = cluster_idi = 0while i < len(neighbors):current_point = neighbors[i]if labels[current_point] == -1:  # 如果是噪声，改为边界点labels[current_point] = cluster_idelif labels[current_point] == 0:  # 如果是未访问点labels[current_point] = cluster_id# 找到当前点的所有邻居current_neighbors = self._find_neighbors(current_point, distances)if len(current_neighbors) >= self.min_samples:# 将新邻居加入列表（合并邻居）neighbors = np.concatenate([neighbors, current_neighbors])i += 1# 测试代码
if __name__ == "__main__":# 使用你提供的示例数据X = np.array([[1, 2], [2, 2], [2, 3], [8, 7], [8, 8], [25, 80]])# 创建并运行DBSCANdbscan = DBSCAN(eps=3, min_samples=2)dbscan.fit(X)# 打印结果print("聚类结果:", dbscan.labels_)# 可视化结果import matplotlib.pyplot as pltplt.figure(figsize=(10, 6))colors = ['red', 'blue', 'green', 'purple', 'orange']for i in range(len(X)):if dbscan.labels_[i] == -1:plt.scatter(X[i, 0], X[i, 1], c='black', marker='x', s=100, label='Noise' if i == 0 else "")else:plt.scatter(X[i, 0], X[i, 1], c=colors[dbscan.labels_[i] - 1], label=f'Cluster {dbscan.labels_[i]}' if i == 0 or dbscan.labels_[i] != dbscan.labels_[i-1] else "")plt.title('DBSCAN Clustering Result')plt.xlabel('X coordinate')plt.ylabel('Y coordinate')plt.legend()plt.grid(True)plt.show()

7. DBSCAN 的优缺点

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• 优点：
  • 可以发现任意形状的簇。
  • 不需要预先指定簇的数量。
  • 对噪声有鲁棒性。
• 缺点
  • 当簇的密度差异较大时，效果不佳。
  • 高维数据（超过 10 维）中的性能较差，非常消耗 CPU 和 GPU 以及内存性能。
  • 需要合理选择 $ϵ$ 和 minPts 参数。