用Python来学微积分36-牛顿 - 莱布尼茨公式的深度解析

在微积分的学习中，微积分基本公式，即牛顿 - 莱布尼茨公式，占据着极为重要的地位。它搭建起了不定积分与定积分之间的桥梁，为定积分的计算提供了一种高效且便捷的方法。

一、牛顿 - 莱布尼茨公式

1、数学定义

设函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，$F(x)$ 是 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的一个原函数（即 $F^{\prime }(x)=f(x)$），则有 ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$ 。此公式表明，一个连续函数在区间 $[a,b]$ 上的定积分等于它的任意一个原函数在区间端点处的函数值之差。

2、手动求解

以求 ${\int }_0^2{x}^{3}dx$ 为例：

1. 首先，找到被积函数 $f(x)=x^3$ 的一个原函数 $F(x)$ 。根据求导公式 $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$ ，反推可得 $F(x)=\frac{1}{4}{x}^4$ ，因为 $(\frac{1}{4}{x}^4{)}^{\prime }=x^3$ 。
2. 然后，将区间端点 $a=0$ 和 $b=2$ 代入原函数 $F(x)$ ，计算 $F(b)-F(a)$ ，即 $F(2)-F(0)=\frac{1}{4}\times 2^4-\frac{1}{4}\times 0^4=4-0=4$ 。

3、Python 代码

from scipy.integrate import quad# 定义被积函数
def f(x):return x ** 3# 计算定积分
result, error = quad(f, 0, 2)
print("定积分结果:", result)

4、Python 代码执行结果

运行上述代码，输出结果为 定积分结果: 4.0 ，与我们手动计算的结果一致。

二、利用牛顿 - 莱布尼茨公式计算含三角函数的定积分

1、数学定义

对于形如 ${\int }_a^b(u(x)\pm v(x))dx$ 的定积分，根据定积分的线性性质，有 ${\int }_a^b(u(x)\pm v(x))dx={\int }_a^{b}u(x)dx\pm {\int }_a^{b}v(x)dx$ 。当被积函数包含三角函数时，同样先找到其原函数，再利用牛顿 - 莱布尼茨公式计算。

2、手动求解

以求 ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(1-2\sin x)dx$ 为例：

1. 根据定积分的线性性质，将其拆分为两个定积分的差：${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(1-2\sin x)dx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}1dx-2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin xdx$ 。
2. 分别找到原函数，$\int 1dx=x+C$ ，$\int \sin xdx=-\cos x+C$ 。
3. 代入牛顿 - 莱布尼茨公式计算：
   • ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}1dx=x{|}_0^{\frac{\pi }{2}}=\frac{\pi }{2}-0=\frac{\pi }{2}$ 。
   • $2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin xdx=-2\cos x{|}_0^{\frac{\pi }{2}}=-2(\cos \frac{\pi }{2}-\cos 0)=-2(0-1)=2$ 。
   • 所以 ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(1-2\sin x)dx=\frac{\pi }{2}-2$ 。

3、Python 代码

import numpy as np
from scipy.integrate import quad# 定义被积函数
def f(x):return 1 - 2 * np.sin(x)# 计算定积分
result, error = quad(f, 0, np.pi / 2)
print("定积分结果:", result)

4、Python 代码执行结果

运行代码，输出结果为 定积分结果: -0.42920367320510344 ，由于 $\pi \approx 3.14$ ，$\frac{\pi }{2}-2\approx 1.57-2=-0.43$ ，与计算结果相符。

三、积分方程问题

1、数学定义

对于积分方程 $f(x)=g(x)-{\int }_a^{b}f(x)dx$ 这种形式，可通过令 ${\int }_a^{b}f(x)dx=A$（将定积分看作一个常数），将原方程转化为关于 $f(x)$ 和 $A$ 的方程，求解出 $f(x)$ 后，再代入计算 $A$ 的值。

2、手动求解

以求函数 $f(x)$ 满足 $f(x)=x^2-{\int }_0^{1}f(x)dx$ 中的 ${\int }_0^{1}f(x)dx$ 和 $f(x)$ 的表达式为例：

1. 令 ${\int }_0^{1}f(x)dx=A$ ，则 $f(x)=x^2-A$ 。
2. 对 $f(x)=x^2-A$ 两边在区间 $[0,1]$ 上积分：
   • ${\int }_0^{1}f(x)dx={\int }_0^1(x^2-A)dx$ 。
   • 计算右边积分：${\int }_0^1(x^2-A)dx=(\frac{1}{3}{x}^3-Ax){|}_0^1=\frac{1}{3}-A$ 。
3. 因为 ${\int }_0^{1}f(x)dx=A$ ，所以 $A=\frac{1}{3}-A$ ，移项可得 $2A=\frac{1}{3}$ ，解得 $A=\frac{1}{6}$ 。
4. 将 $A=\frac{1}{6}$ 代入 $f(x)=x^2-A$ ，得到 $f(x)=x^2-\frac{1}{6}$ 。

3、Python 代码

from sympy import symbols, integrate, solve# 定义符号变量
x = symbols('x')
A = symbols('A')# 定义 f(x) 的表达式
f_x = x ** 2 - A# 计算定积分并建立方程
eq = integrate(f_x, (x, 0, 1)) - A# 解方程
solution = solve(eq, A)
f_x_final = f_x.subs(A, solution[0])print("∫₀¹f(x)dx 的值:", solution)
print("f(x) 的表达式:", f_x_final)

4、Python 代码执行结果

运行代码，输出结果为 ∫₀¹f(x)dx 的值: 1/6 ，f(x) 的表达式: x**2 - 1/6 ，与我们手动计算的结果相同。

四、利用定积分求极限（积分和）

1、数学定义

对于和式 ${\sum }_{k=1}^{n}f(\frac{k}{n})\frac{1}{n}$ ，当 $n\to \infty$ 时，其极限可以转化为定积分 ${\int }_0^{1}f(x)dx$ 。这是基于定积分的定义，将区间 $[0,1]$ 进行 $n$ 等分，每个小区间的长度为 $\Delta x=\frac{1}{n}$ ，取 ${\xi }_k=\frac{k}{n}$ 作为每个小区间的代表点。

2、手动求解

以求极限 ${\lim }_{n\to \infty }{\sum }_{k=1}^n\frac{1}{n+k}$ 为例：

1. 对和式进行变形：${\sum }_{k=1}^n\frac{1}{n+k}={\sum }_{k=1}^n\frac{1}{n(1+\frac{k}{n})}=\frac{1}{n}{\sum }_{k=1}^n\frac{1}{1+\frac{k}{n}}$ 。
2. 当 $n\to \infty$ 时，根据定积分定义，它等价于 ${\int }_0^1\frac{1}{1+x}dx$ 。
3. 找到原函数 $F(x)=\ln (1+x)$ ，利用牛顿 - 莱布尼茨公式计算：${\int }_0^1\frac{1}{1+x}dx=\ln (1+x){|}_0^1=\ln 2-\ln 1=\ln 2$ 。

3、Python 代码

import sympy as sp# 定义符号变量
x = sp.symbols('x')# 定义被积函数
f_x = 1 / (1 + x)# 计算定积分
result = sp.integrate(f_x, (x, 0, 1))
print("极限结果:", result)

4、Python 代码执行结果

运行代码，输出结果为 极限结果: log(2) ，即 $\ln 2$ ，与手动计算结果一致。

通过对牛顿 - 莱布尼茨公式及其应用的详细讲解与示例演示，希望能帮助大家更好地理解和掌握这一微积分中的重要工具。

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往期精彩回顾：

• 用Python来学微积分33-定积分的应用实例详解
• 用Python来学微积分34-定积分的基本性质及其应用
• 用Python来学微积分35-变上限定积分

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参考资料：

1. 扈志明《微积分》教材

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