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进制的理解与转换

news 2025/9/2 4:57:39

二进制（binary）是在数学和数字电路中以2为基数的记数系统，这一系统中，通常用两个不同的符号0和1来表示数值。
基本概念
位（bit）：二进制数据中的基本单位，每一位只能是0或1。在计算机科学中，一个位通常被称为一个比特（Binary digit的缩写）。
字节（byte）：由8个位组成，是计算机中常用的数据单位。一个字节可以表示256种不同的状态（因为2^8=256）。

二进制的特点
基数为2：二进制的基数是2，这意味着在二进制系统中，每一位的数值只能是0或1。
进位规则：二进制采用“逢二进一”的进位规则，即当某一位的数值达到2时，需要向高位进位，并将该位重置为0。
借位规则：在二进制中，当需要从一个较小的数中减去一个较大的数时，会发生借位。借位规则是“借一当二”，即从高位借1位来当作2使用。

//举例
0 0000
1 0001
2 0010
3 0011
4 0100
5 0101
6 0110
7 0111
8 1000
9 1001

举个例子，将十进制数23转换为二进制数：

23 ÷ 2 = 11 余 1（记录1，这是最低位）
11 ÷ 2 = 5 余 1（记录1，这是次低位）
5 ÷ 2 = 2 余 1（记录1，这是更高位）
2 ÷ 2 = 1 余 0（记录0，这是再高一位）
1 ÷ 2 = 0 余 1（记录1，这是最高位）

所以23就是10111

八进制
八进制（Octal）是一种以8为基数的计数系统，满8近一。

0  ->  00
1  ->  01
2  ->  02
3  ->  03
4  ->  04
5  ->  05
6  ->  06
7  ->  07
8  ->  10
9  ->  11
10 ->  12
11 ->  13
12 ->  14
13 ->  15
14 ->  16
15 ->  17
16 ->  20

16进制
16进制（简写为hex或下标16）是一种数学中常用的数制（记数的方法），它用16个符号来表示数值。这些符号分别是：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F。其中，A到F分别表示10到15。

16进制数的表示形式为：
0x或0X开头（在C、C++、Java等编程语言中常用）
例如：0x1A3F、0XFF1C等

进制的转换

二进制转十进制
将二进制数的每一位从右到左计算乘以2的相应次方（从右到左，次方从0开始增加），然后将这些乘积相加得到十进制数。

比如我们计算1011：
从二进制数的最右边（即最低位）开始，将每一位上的数字乘以2的次方。
最右边的位（第1位）是1乘以2的0次方
得到1。
接着是（第2位）1乘以2的1次方
得到2。
然后是（第3位）0乘以2的2次方
得到0。
最后是（第4位）1乘以2的3次方
得到8。

1+2+0+8=11

十进制转二进制

十进制转换为二进制可以采用“除2取余法”
整数部分的转换
将十进制的数字一直除2，得到的商和余数，直到商为0时为止。
将每次得到的余数记录下来，按从低位到高位的顺序排列起来。

//将53转成二进制
第一次除法：用51除以2，得到商26和余数1。
第二次除法：用2去除26，得到商13和余数0。
第三次除法：用2去除13，得到商6和余数1。
第四次除法：用2去除6，得到商3和余数0。
第五次除法：用2去除3，得到商1和余数1。
第六次除法：用2去除1，得到商0和余数1。
组合余数：
将所有记录的余数按从低位到高位的顺序排列起来，表示为110101。

小数部分的转换
乘法运算：
用2乘以十进制小数，然后取整数部分。
剩下的小数部分继续乘以2，然后取整数部分。
如此进行，直到小数部分为零为止（如果永远不能为零，则按照要求保留多少位小数）。
记录整数部分：
在整个乘法运算过程中，将每次得到的整数部分记录下来。
注意整数部分的顺序，先得到的整数部分是二进制数的低位有效位，后得到的整数部分是二进制数的高位有效位。
组合结果：
将所有记录的整数部分按从低位到高位的顺序排列起来（小数点不变），并加上小数点，就得到了该十进制小数的二进制表示（如果要求保留有限位小数）。

以十进制数23.625为例：
整数部分23的转换：
23 ÷ 2 = 11 余 1
11 ÷ 2 = 5 余 1
5 ÷ 2 = 2 余 1
2 ÷ 2 = 1 余 0
1 ÷ 2 = 0 余 1
将余数按从低位到高位的顺序排列：10011

小数部分0.625的转换：
0.625 × 2 = 1.25（取整数部分1）
0.25 × 2 = 0.5（取整数部分0，注意这里我们只取到小数点后第一位，因为原数只有两位小数）
0.5 × 2 = 1.0（取整数部分1，这里已经足够精确到原数的位数）
将整数部分按从低位到高位的顺序排列（并加上小数点）：.101
因此，小数部分0.625的二进制表示为0.101（这里我们只保留了三位小数进行演示，实际上可以根据需要保留更多位）。
组合结果：
将整数部分和小数部分的二进制表示组合起来：10111.101
因此，十进制数23.625的二进制表示为10111.101。

原码反码和补码

原码、反码和补码是计算机中用于表示有符号整数（二进制编码）的三种编码方式。

原码

定义：原码是一种最简单的机器数表示法，最高位为符号位，用以表示数值的正负（通常用 0 表示正数，1 表示负数），其余位表示数值的绝对值。
示例：假设用 8 位二进制来表示整数。
- 对于正数 +10，其原码是 00001010，最高位 0 表示正数，后面 7 位 0001010 是 10 的二进制表示。
- 对于负数 -10，其原码是 10001010，最高位 1 表示负数，后面 7 位 0001010 同样是 10 的二进制表示。
优缺点：原码的优点是直观易懂，与真值的转换较为简单；缺点是进行加减运算时规则复杂，需要先判断符号位和数值大小，再进行相应操作。

反码

定义：反码的表示规则根据数的正负有所不同。正数的反码与原码相同；负数的反码是在原码的基础上，符号位不变，其余位按位取反（即 0 变为 1，1 变为 0）。
示例：同样以 8 位二进制为例。
- 正数 +10 的原码是 00001010，其反码也是 00001010。
- 负数 -10 的原码是 10001010，则其反码是 11110101（符号位 1 不变，其余位取反）。
优缺点：反码在一定程度上简化了计算机的运算，但仍然存在 0 的表示不唯一的问题（有 +0 和 -0 之分），并且在运算时还是需要额外处理。

补码

定义：补码的表示规则同样因数的正负而异。正数的补码与原码、反码相同；负数的补码是在反码的基础上加 1。
示例：还是以 8 位二进制表示。
- 正数 +10 的原码、反码和补码都是 00001010。
- 负数 -10 的原码是 10001010，反码是 11110101，补码则是 11110110（反码 11110101 加 1）。
优缺点：补码解决了 0 的表示不唯一的问题，并且在计算机中可以将减法运算转化为加法运算，大大简化了计算机的运算器设计，提高了运算效率，因此在计算机系统中得到了广泛应用。