MIT-最长公共子序列问题（LCS）

问题描述

给定两个字符串（或序列）$A$ 和 $B$，求它们的 最长公共子序列（Longest Common Subsequence, LCS） 的长度。且 $length(A)=n,length(B)=m$。

子序列（subsequence）指的是从一个序列中删除若干（可以为0个）元素后，不改变原有顺序而得到的新序列。
注意：子序列中的字符不要求连续。

例子

设

A = "ABCBDAB"
B = "BDCABA"

则它们的所有公共子序列包括：

"BCBA", "BDAB", "BCAB", "BDABA", "BCBAB" ...

其中最长的公共子序列长度是 4，
可能的 LCS 之一为：

"BCAB"

因此应该输出4。

算法实现

暴力算法

首先最直观的想法就是我们，可以列举出 $A$ 字符串所有子序列一共 $2^n$ 个子序列。

因为 $len(A)=n$，每一位都有“选”和“不选”两种。所以一共有 $2^n$ 种排列方式。

然后对于 $A$ 的 $2^n$ 个所有子序列对 $B$ 字符串进行匹配。最终得出最长公共子序列。

获取所有子序列

vector<string> getSubsequences(const string& str) 
{vector<string> subsequences;int n = str.length();// 枚举从 0 到 (2^n - 1) 的所有数，表示包含/不包含某个字符for (int mask = 0; mask < (1 << n); mask++) {string subseq = "";for (int i = 0; i < n; i++) if (mask & (1 << i)) subseq += str[i];  // 如果第 i 位为 1，则包含该字符subsequences.push_back(subseq);  // 把子序列加入列表}return subsequences;
}

判断 sub 是否为 str 的子序列

bool isSubsequence(const string& sub, const string& str) 
{int i = 0, j = 0;while (i < sub.size() && j < str.size()) {if (sub[i] == str[j]) i ++ ;j ++ ;}return i == sub.size();
}

判断两个字符串的最长公共子序列

int LCSBySubsequences(string A, string B) 
{vector<string> subsequencesA = getSubsequences(A);int maxLength = 0;for (const string& subseqA : subsequencesA)if (isSubsequence(subseqA , B))maxLength = max(maxLength, (int)subseqA.size());return maxLength;
}

时间复杂度：$O(m{2}^n)$

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动态规划

注：在$A[i]\ne B[j]$ 时为什么不能同时丢掉 $A$ 中第 $i$ 个字符和 $B$ 中第 $j$ 个字符（$dp[i][j]=dp[i-1][j-1]$）？
因为 “两个都丢掉” 的情况已经被包含在别的转移中 。$dp[i-1][j-1]\le dp[i-1][j]$ 且 $dp[i-1][j-1]\le dp[i][j-1]$。

int dpLCS(String A, String B)
{int n = A.size(), m = B.size();int dp[n + 1][m + 1];for (int i = 0; i <= m; i ++ ) dp[0][i] = 0;for (int i = 0; i <= n; i ++ ) dp[i][0] = 0;for (int i = 1; i <= n; i ++ ){for (int j = 1; j <= m; j ++ ){if (A[i] == B[j])dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);}}return dp[n][m];
}

时间复杂度：$O(nm)$