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学习目标：

• 掌握算法入门知识

学习内容：

1. 回溯的定义
2. 例题详细步骤讲解（求子集、求全排列）

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1. 回溯的定义

回溯法是一种通过 试探性搜索 来求解问题的算法思想。一个复杂问题的解决方案是由若干个小的决策步骤组成的决策序列，解决一个问题的所有可能的决策序列构成该问题的解空间。解空间中满足约束条件的决策序列称为可行解。在约束条件下使目标达到最优的可行解称为该问题的最优解。其核心思想是：
（1）逐步构建候选解，并在每一步检查是否满足问题的约束条件。
（2）如果当前路径 不可能得到有效解，则立即 回退（回溯），尝试其他可能的路径。
（3）通过 递归 或 栈（迭代） 实现状态的深入和回退。

回溯法的特点：
（1）系统性：按某种顺序（如 DFS）遍历所有可能的解。
（2）避免无效搜索：通过剪枝（Pruning）提前终止不可能的分支。
适用于组合问题：如排列、组合、子集、棋盘类问题（N 皇后、数独）等。

2. 例题详细步骤讲解

2.1 子集树——求子集

例1：a[]={1，2，3}，所有子集是：{}，{3}，{2}，{2，3}，{1}，{1，3}，{1，2}，{1，2，3}（输出顺序无关）。

思路：解向量为x[]，x[i]=0表示不选择a[i]，x[i]=1表示选择a[i]。用 i 扫描数组 a ，也就是说问题的初始状态为（i=0，x的元素均为0），目标状态为（i=n，x为一个解，进行输出）。

• 不选择a[i]元素，x[i]=0 ==> 下一个状态（递归）转向（i+1）。
• 选择a[i]元素，x[i]=1 ==> 下一个状态（递归）转向（i+1）。

代码：

#include <stdio.h>void dfs(int a[], int n, int i, int x[]) {if (i >= n) {  //拿到一个解向量，进行输出for (int j = 0; j < n; j++) {if (x[j] != 0) {printf("%d ", a[j]); // 打印选中的元素}}printf("\n");} else {x[i] = 0; // 不选择a[i]dfs(a, n, i + 1, x);x[i] = 1; // 选择a[i]dfs(a, n, i + 1, x);}
}int main() {int a[] = {1, 2, 3}; // 示例数组int n = sizeof(a) / sizeof(a[0]); // 计算数组长度int x[n]; // 辅助数组，用于记录是否选择对应元素printf("数组的所有子集：\n");dfs(a, n, 0, x); // 从第0个元素开始回溯return 0;
}

2.2 排列树——求全排列

例2：有一个含 n 个整数的数组 a ，所有元素均不相同，求其所有元素的全排列。 如：a[]={1，2，3}，得到结果是（1，2，3）、（1，3，2）、（2，3，1）、（2，1，3）、（3，1，2）、（3，2，1）。

思路：以1开头的两组后面两元素正好是交换位置的（1，2，3）、（1，3，2），以2、3开头的两组后面两元素正好也是交换位置。说明涉及一个元素交换。再看每两组刚好是1、2、3开头，也可以设置成交换位置得到，如1和1交换，2和1交换，3和1交换。也就是说，整个代码应该围绕交换进行。

DFS(a,n,i)  ==>  输出a所有元素即产生一种全排列         i=n-1
DFS(a,n,i)   ==> for (j=i;j<n;j++)		            其他情况i<n-1{ 交换a[i]与a[j];  DFS(a,n,i+1); 交换a[i]与a[j]; }

初始状态为（1,2,3），DFS(a,n,0)
（1）i=0，i<n-1，进行for循环，j=i=0，交换a[0]和a[0]，得到（1,2,3），递归进入下一层DFS(a,n,1)
（2）i=1，i<n-1，进入for循环，j=i=1，交换a[1]和a[1]，得到（1,2,3），递归进入下一层DFS(a,n,2)
（3）i=2，i=n-1，输出一种排列（1,2,3）
（4）回到（2），交换a[1]和a[1]，得到（1,2,3）。j++=2，交换a[1]和a[2]，得到（1,3,2），递归进入下一层DFS(a,n,2)
（5）i=2，i=n-1，输出一种排列（1,3,2）
（6）回到（2），交换a[1]和a[2]，得到（1,2,3）。j++=3，循环结束，回到（1），交换a[0]和a[0]，得到（1,2,3）。j++=1，交换a[0]和a[1]，得到（2,1,3），递归进入下一层DFS(a,n,1)
（7）i=1，i<n-1，进入for循环，j=i=1，交换a[1]和a[1]，得到（2,1,3），递归进入下一层DFS(a,n,2)
（8）i=2，i=n-1，输出一种排列（2,1,3）
（9）回到（7），交换a[1]和a[1]，得到（2,1,3）。j++=2，交换a[1]和a[2]，得到（2,3,1），递归进入下一层DFS(a,n,2)
（10）i=2，i=n-1，输出一种排列（2,3,1）
（11）回到（7），交换a[1]和a[2]，得到（2,1,3）。j++=3，循环结束，回到（1），交换a[0]和a[1]，得到（1,2,3）。j++=2，交换a[0]和a[2]，得到（3,2,1），递归进入下一层DFS(a,n,1)
（12）第三个大分支省略… 应该会了吧！！！

代码：

#include <stdio.h>// 交换两个整数的值
void swap(int *a, int *b) {int temp = *a;*a = *b;*b = temp;
}// 回溯法生成全排列
void DFS(int a[], int n, int i) {if (i >= n - 1) {  // 递归出口：已处理完所有元素for (int k = 0; k < n; k++) {printf("%d ", a[k]);  // 打印当前排列}printf("\n");} else {for (int j = i; j < n; j++) {swap(&a[i], &a[j]);   // 交换a[i]和a[j]DFS(a, n, i + 1);     // 递归处理下一个位置swap(&a[i], &a[j]);   // 恢复交换（回溯）}}
}int main() {int a[] = {1, 2, 3};  // 示例数组int n = 3;  // 数组长度printf("数组的全排列：\n");DFS(a, n, 0);  // 从第0个位置开始生成全排列return 0;
}