HDU1521 排列组合（指数生成函数）

指数型生成函数（Exponential Generating Function, EGF）

一、EGF 的定义

对于一个序列
$[a_0,a_1,a_2,a_3,\dots ]$
其 指数型生成函数（EGF） 定义为：

$$G(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n\frac{x^n}{n!}$$

对比普通生成函数（OGF）：

$$\text{OGF: }F(x)=\sum a_n{x}^n⟺\text{EGF: }G(x)=\sum a_n\frac{x^n}{n!}$$

区别：EGF 中每项系数多了一个 $\frac{1}{n!}$。

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二、EGF 的核心意义

• OGF：用于无序组合（只考虑选取，不考虑顺序）。
• EGF：用于有序排列（考虑顺序的情况）。

EGF 能自然地处理排列问题中出现的 $\frac{1}{n!}$ 因子，
非常适合用于涉及标号、排列、顺序的计数问题。

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题目要求：

有 $n$ 种物品，第 $i$ 种有 $a_i$ 个。
要从中选出 $m$ 个物品进行排列（顺序不同算不同），求不同排列的总数。

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数学建模

设选取第 $i$ 种物品 $x_i$ 个，则：

$$x_1+x_2+\cdots +x_n=m,0\le x_i\le a_i$$

每种选择对应的排列数为：

$$\frac{m!}{x_1!,x_2!\cdots x_n!}$$

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生成函数表示

每种物品的 EGF 为：

$$f_i(x)=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\cdots +\frac{x^{a_i}}{a_i!}$$

所有物品的总生成函数为：

$$F(x)=\prod _{i=1}^n{f}_i(x)$$

取出 $x^m$ 的系数：

$$[x^m]F(x)=\sum _{x_1+\cdots +x_n=m}\frac{1}{x_1!x_2!\cdots x_n!}$$

因此答案为：

$$\text{Answer}=m!\times [x^m]F(x)$$

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四、代码解析与 EGF 对应

核心初始化部分：

for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
memset(c, 0, sizeof(c));
memset(d, 0, sizeof(d));
for (int i = 0; i <= a[1]; i++) c[i] = inv[i]; // 初始化第一种物品

🔹 含义 1：初始化第一个 EGF

inv[i] = 1 / i!
因此：

$$c[i]=\frac{1}{i!}$$

表示第 1 种物品的生成函数：

$$f_1(x)=\sum _{k=0}^{a_1}\frac{x^k}{k!}$$

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接下来的循环：

for (int i=2; i<=n; i++) {for (int j=0; j<=m; j++) {for (int k=0; k<=a[i]; k++) {d[j+k] += c[j] * inv[k];}}for (int j=0; j<=m; j++) c[j]=d[j],d[j]=0;
}

含义 2：EGF 卷积（生成函数乘法）

每次乘入一个新的物品生成函数：

$$c(x)\leftarrow c(x)\times f_i(x)$$

展开即：

$$d[j+k]=\sum c[j]\cdot \frac{1}{k!}$$

表示求 $F_{i-1}(x)\cdot f_i(x)$ 的系数卷积。

最终 c[m] 存放的就是 $[x^m]F(x)$。

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最后一步：

ll res = c[m] * fac[m] % mod;

🔹 含义 3：乘上 $m!$

根据公式：

$$\text{Answer}=m!\cdot [x^m]F(x)$$

所以最终结果就是排列总数。

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五、数学与代码对应表

数学表达式	程序变量 / 操作	含义
$f_i(x)={\sum }_{k=0}^{a_i}\frac{x^k}{k!}$	inv[k]	预存 $1/k!$
$F(x)=\prod f_i(x)$	c[]	当前生成函数的系数
卷积：$d[j+k]+=c[j]\cdot \frac{1}{k!}$	双重循环	实现乘法
取系数 $[x^m]F(x)$	c[m]	第 $m$ 项系数
乘 $m!$	fac[m]*c[m]	输出排列数

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六、EGF 与 OGF 的区别总结

对比项	普通生成函数 (OGF)	指数生成函数 (EGF)
定义	$F(x)=\sum a_n{x}^n$	$G(x)=\sum a_n\frac{x^n}{n!}$
应用场景	组合数（无序选取）	排列数（有序选取）
系数含义	子集数量	带顺序排列数
乘法含义	集合并	带标号排列

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七、最终总结

这道题的核心数学思想是：

$$F(x)=\prod _{i=1}^n\left(\sum _{k=0}^{a_i}\frac{x^k}{k!}\right)$$

答案为：

$$\boxed{\text{Answer}=m!\cdot [x^m]F(x)}$$

你的代码正是这个公式的实现：
利用数组 c[] 存储 EGF 系数，逐步做卷积，最后乘上 $m!$。

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题目链接

题解

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e2+10;
const int mod = 998244353;
typedef long long ll;
int n,m;
ll a[N];
ll c[N],d[N];
ll fac[N];
ll inv[N];
ll qpow(ll a,ll b,ll p)
{ll res = 1;for(;b;b>>=1){if(b&1)res = res*a%p;a = a*a%p;}return res;}void solve()
{for(int i=1;i<=n;i++){cin>>a[i];}memset(c,0,sizeof(c));memset(d,0,sizeof(d));for(int i=0;i<=a[1];i++)c[i]=inv[i];for(int i=2;i<=n;i++){for(int j=0;j<=m;j++){for(int k=0;k<=a[i]&&j+k<=m;k++){d[j+k]+=(c[j]*inv[k])%mod;d[j+k]%=mod;}}for(int j=0;j<=m;j++)c[j]=d[j],d[j]=0;}ll res = c[m]*fac[m]%mod;cout<<res<<endl;}int main()
{ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);int t=1;fac[0]=inv[0]=1;for(int i=1;i<=100;i++){fac[i]=fac[i-1]*i%mod;inv[i]=qpow(fac[i],mod-2,mod);// cout<<fac[i]<<' '<<inv[i]<<endl;}// cin>>t;while(cin>>n>>m){solve();}return 0;
}