神经网络之反射变换
一、什么是反射变换？
反射变换（reflection transformation） 是一种 线性变换，它将空间中的点（或向量）相对于某个**平面（或直线）**进行镜像对称。
例如：
- 在二维空间中，它表示 相对于一条直线的镜像反射；
- 在三维空间中，它表示 相对于一个平面的镜像反射。
二、反射变换的定义公式
设：
- (n)( n )(n) 是单位法向量（表示反射平面的法线方向）；
- (x∈Rn)( x \in \mathbb{R}^n )(x∈Rn) 是任意向量。
则反射变换 (T)( T )(T) 定义为：
T(x)=x−2(n⋅x)n T(x) = x - 2 (n \cdot x) n T(x)=x−2(n⋅x)n
三、几何解释
我们把 (x)( x )(x) 分解为：
x=x∥+x⊥
x = x_{\parallel} + x_{\perp}
x=x∥+x⊥
其中：
- (x∥=(n⋅x)n)( x_{\parallel} = (n \cdot x)n )(x∥=(n⋅x)n)：沿法线方向的分量；
- (x⊥=x−(n⋅x)n)( x_{\perp} = x - (n \cdot x)n )(x⊥=x−(n⋅x)n)：在平面内的分量。
那么反射后：
T(x)=x⊥−x∥
T(x) = x_{\perp} - x_{\parallel}
T(x)=x⊥−x∥
即：
| 分量 | 意义 | 反射后的变化 |
|---|---|---|
| (x⊥)( x_{\perp} )(x⊥) | 平面内分量 | 保持不变 ✅ |
| (x∥)( x_{\parallel} )(x∥) | 垂直平面分量 | 方向反转 🔁 |
这说明：反射就是把法线方向“翻过去”，平面内部分不变。
四、矩阵形式
反射变换也可以写成矩阵形式：
T(x)=(I−2nn⊤)x T(x) = (I - 2nn^\top)x T(x)=(I−2nn⊤)x
其中：
- (I)( I )(I)：单位矩阵；
- (nn⊤)( n n^\top )(nn⊤)：把向量投影到法线方向上的投影矩阵。
于是，反射矩阵为：
R=I−2nn⊤ R = I - 2nn^\top R=I−2nn⊤
五、反射矩阵的性质
| 性质 | 说明 |
|---|---|
| 线性 | 满足加法与数乘封闭性，因此是线性变换。 |
| 正交矩阵 | (R⊤R=I)( R^\top R = I )(R⊤R=I)，说明反射保持向量长度。 |
| 行列式 | (det(R)=−1)( \det(R) = -1 )(det(R)=−1)，说明它翻转了方向（即“镜像”）。 |
| 特征值 | 法线方向特征值为 -1，平面内方向特征值为 1。 |
六、二维与三维的例子
1️⃣ 二维平面上相对直线的反射
若反射直线单位方向为 ( n = (\cos\theta, \sin\theta) )，
则反射矩阵为：
R=[cos2θsin2θ sin2θ−cos2θ] R = \begin{bmatrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \ \sin 2\theta & -\cos 2\theta \end{bmatrix} R=[cos2θsin2θ sin2θ−cos2θ]
这个矩阵把向量关于过原点、角度为 ( \theta ) 的直线进行镜像反射。
2️⃣ 三维空间中相对平面的反射
例如关于 (xy)( xy )(xy) 平面的反射：
法线 (n=(0,0,1))( n = (0,0,1) )(n=(0,0,1))。
R=I−2nn⊤=[100 010 00−1] R = I - 2nn^\top = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\ 0 & 1 & 0\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} R=I−2nn⊤=[100 010 00−1]
结果就是：
(x,y,z)↦(x,y,−z)
(x, y, z) \mapsto (x, y, -z)
(x,y,z)↦(x,y,−z)
即对 (xy)( xy )(xy) 平面镜像。
七、总结
| 项目 | 内容 |
|---|---|
| 定义 | (T(x)=x−2(n⋅x)n)( T(x) = x - 2(n\cdot x)n )(T(x)=x−2(n⋅x)n) |
| 矩阵形式 | (R=I−2nn⊤)( R = I - 2nn^\top )(R=I−2nn⊤) |
| 性质 | 线性、长度不变、行列式 = −1 |
| 几何意义 | 平面内分量不变，法线方向分量反向 |
| 应用 | 计算机图形学、几何建模、光线追踪、线性代数教学 |