概率论直觉（二）：方差与期望
显然，我们需要先理解方差到底是什么，才能明白它为什么会这样变化。
方差衡量的是数值与其平均值（期望值）的离散程度。
对于一次抛硬币，正面朝上 = 1，反面朝上 = 0：
期望值（平均值）= 1/2
方差 = （与平均值的偏差）² 的期望值
因此：Var(X) = (1 - 1/2)² · (1/2) + (0 - 1/2)² · (1/2) = 1/8 + 1/8 = 1/4
现在，关键性质是，当随机变量相互独立并求其平均值时，有一个公式：
Var((X₁ + X₂ + ... + Xn)/n) = Var(X₁ + X₂ + ... + Xn)/n²
对于独立变量：Var(X₁ + X₂ + ... + Xn) = Var(X₁) + Var(X₂) + ... + Var(Xn) = n · (1/4)
因此：Var(平均值) = n · (1/4) / n² = 1/(4n)
总和的方差随 n 增大而增大，但当我们除以 n 得到平均值时，方差公式中除以的是 n²。这就是为什么方差会减小。
当然，需要注意的是，期望值和均值（平均值）是不同的概念！这一点至关重要。
期望值是理论值，它是我们根据概率预测的值。例如，对于一枚正面朝上的概率为 1/2 的硬币，期望值就是 1/2。我们在抛硬币之前就知道这一点。这是概率分布本身的属性。
均值（平均值）是经验值，它是我们抛硬币时实际观察到的值。如果我抛 10 枚硬币，得到 6 个正面，那么均值就是 6/10 = 0.6。
大数定律指出：随着样本量 n 的增大，观察到的均值会趋近于理论期望值。
所以，抛一枚硬币：期望值 = 1/2（我们从概率论中得知），单次抛掷的方差 = 1/4（衡量围绕期望值的离散程度）。
抛 n 枚硬币：平均值的期望值仍然是 1/2，但平均值的方差 = 1/(4n)， 方差变小了！方差越小，意味着观测到的平均值越集中在 1/2 附近。
期望值来源于模型，是我们对世界运行方式的理论假设，比如：均匀的硬币，均匀的骰子，许多一模一样的小球……所以，即使不进行任何真实的实验，这些场景的期望可以被直接定义出来。然后，在现实中，随着真实实验的次数的增加，均值的果然越来越接近于期望……这就是大数定律，是概率论故事的起点。
大数定律就像一座桥梁，它告诉我们“如果你的模型是正确的，那么现实最终会与它相符……只要有足够的数据。” 这就是概率论如此强大的原因，它将抽象的数学模型与可观察的现实联系起来！
切比雪夫不等式是使证明严谨的工具。它说：对于任何期望值为 μ、方差为 σ² 的随机变量，其远离 μ 的概率是有限的：
P(|X - μ| ≥ ε) ≤ σ²/ε²
用文字表述：“偏离期望值 ε 或以上的概率至多为方差除以 ε² ”，所以对于我们方差为 1/(4n) 的硬币平均值：
P(|平均值 - 1/2| ≥ ε) ≤ 1/(4nε²)
当 n → ∞ 时，等式右边趋近于 0。因此，远离 1/2 的概率为零！切比雪夫定理为我们提供了证明收敛性的数学工具。