数据结构（14）
目录
一、最小生成树（MST）
1、最小生成树的核心定义与性质
（1）定义
（2）关键性质
2、构造最小生成树的经典算法
（1）Kruskal 算法（“加边法”）
（2）Prim 算法（“加点法”）
3、示例说明（对比两种算法）
（1）Kruskal 算法过程
（2）Prim 算法过程（从顶点 0 出发）
4、适用场景
二、普利姆算法（prime）
三、克鲁斯卡尔算法（kruskal）
一、最小生成树（MST）
（1）在网络的多个生成树中，寻找一个各边权值之和最小的生成树
（2）使用不同的遍历图的方法，可以得到不同的生成树；从不同的顶点出发也可以得到不同的生成树
（3）按照生成树的定义，n 个顶点的连通网络的生成树有 n 个顶点，n-1 条边
（4）准则：
① 必须只使用该网络中的各边来构造最小生成树
② 必须使用且仅使用 n-1 条边来联络网络中的 n 个顶点
③ 不能使用产生回路的边
（5）MST性质：若 U 集是 V 的一个非空子集，若 是一条最小权值的边，其中
，
，则
必在MST上
最小生成树（Minimum Spanning Tree, MST）是针对带权连通无向图的一种特殊生成树，其核心特点是：包含图中所有顶点，且所有边的权重之和（总权重）在所有可能的生成树中最小。MST 既保留了原图的连通性（作为生成树的基本属性），又通过最小化总权重，在网络设计、路径规划等场景中具有重要实用价值（如最小成本布线、最短管道铺设等）。
1、最小生成树的核心定义与性质
（1）定义
对于一个带权连通无向图 G=(V,E)（V 为顶点集，E 为带权边集），其最小生成树是满足以下条件的子图 T：
- T 包含 G 中所有顶点（VT=V）。
- T 是连通的，且无环（是一棵生成树）。
- T 中所有边的权重之和 ∑(w(e)) 是所有可能生成树中最小的。
（2）关键性质
- 边数固定：含 n 个顶点的 MST 有且仅有 n−1 条边（生成树的基本性质）。
- 唯一性：若图中所有边的权重互不相同，则 MST 是唯一的；若存在相同权重的边，可能有多个 MST（但总权重相同）。
- 割边性质：在图中任意划分顶点为两个子集（割集），连接两个子集的所有边中，权重最小的边一定属于 MST（用于证明 MST 算法的正确性）。
- 回路性质：图中任意回路，回路中权重最大的边一定不属于 MST（若包含该边，删除后可形成总权重更小的生成树）。
2、构造最小生成树的经典算法
构造 MST 的核心思想是 “在保持连通且无环的前提下，选择权重最小的边”，两大经典算法分别是Kruskal 算法和Prim 算法。
（1）Kruskal 算法（“加边法”）
- 核心思路：按边的权重从小到大排序，依次选择边加入 MST，若加入后不形成环，则保留该边；直到加入 n−1 条边为止。
- 关键步骤：
- 对所有边按权重从小到大排序。
- 初始化 MST 为 “空集”，顶点各自独立（不连通）。
- 按排序顺序遍历边：若边的两个顶点分属不同的连通分量（加入后无环），则将该边加入 MST，并合并两个连通分量。
- 重复步骤 3，直至 MST 包含 n−1 条边。
- 环检测工具：并查集（Union-Find），高效判断两顶点是否连通及合并连通分量（时间复杂度接近 O(1)）。
- 时间复杂度：O(eloge)（主要耗时在边的排序，e 为边数），适合稀疏图（边数少）。
（2）Prim 算法（“加点法”）
- 核心思路：从任意顶点出发，逐步将 “与当前 MST 连通且权重最小的顶点” 纳入 MST，直到包含所有顶点。
- 关键步骤：
- 选择起始顶点 v0，将其加入 MST，标记为 “已访问”。
- 记录所有未访问顶点到 MST 的 “最小距离”（即该顶点与 MST 中某顶点的边的最小权重）。
- 选择 “最小距离” 最小的未访问顶点 u，将其加入 MST，并更新其他未访问顶点到 MST 的 “最小距离”（若通过 u 连接的边权重更小）。
- 重复步骤 2-3，直至所有顶点均加入 MST（共加入 n−1 条边）。
- 优化工具：优先队列（如最小堆），高效获取 “最小距离” 的顶点（时间复杂度 O(logn)）。
- 时间复杂度：O(elogn)（n 为顶点数），适合稠密图（边数多）。
3、示例说明（对比两种算法）
假设有带权连通无向图 G：顶点 V={0,1,2,3}，边及权重：(0,1,4),(0,2,2),(0,3,6),(1,3,1),(2,3,3)
（1）Kruskal 算法过程
- 边排序：(1,3,1)<(0,2,2)<(2,3,3)<(0,1,4)<(0,3,6)。
- 选边：
- 加入 (1,3,1)（1 和 3 连通）。
- 加入 (0,2,2)（0 和 2 连通）。
- 加入 (2,3,3)（2 与 3 连通，此时 0-2-3-1 全连通，共 3 条边，停止）。
- MST 总权重：1+2+3=6。
（2）Prim 算法过程（从顶点 0 出发）
- 初始：MST = {0}，距离：1→4，2→2，3→6。
- 选距离最小的 2（距离 2），加入 MST，更新距离：3→min (6, 3) = 3。
- 选距离最小的 3（距离 3），加入 MST，更新距离：1→min (4, 1) = 1。
- 选距离最小的 1（距离 1），加入 MST，共 3 条边，停止。
- MST 总权重：2+3+1=6。
4、适用场景
MST 的核心价值是 “以最小成本保持连通”，典型应用包括：
- 网络布线：在多个建筑物间铺设电缆，使总成本最低且所有建筑物连通。
- 交通规划：修建公路连接多个城市，总里程最短且确保城市间可互达。
- 电路设计：芯片中连接多个元件，导线总长度最小。
- 聚类分析：将相似数据点（顶点）按最小 “距离”（权重）聚为一类，形成连通子图。
二、普利姆算法（prime）
思路：将顶点归并，与边数无关，是用于稠密图
设：N=（V,E）是个连通图，另设U为最小生成树的顶点集，TE是最小生成树的边集
步骤：① 初始态：U={}，（
）,TE={ }
② 从E中选择定点分别属于U、V-U两个集合，且权值最小的边 ，将顶点
归并到集合U中，边
归并到TE中
③ 直到 U=V 为止，此时 TE 中必有 n-1 条边，T=(v,{TE}) 就是最小生成树
例题：
增设一辅助数组 Closedge[n]：
| adjvex | lowcost |
Closedge[n]：V-U 中顶点
adjvex： 在 U 中邻点 u
lowcost：u 与 之间对应的边权
要使：Closedge[n].lowcost= min(u,)
三、克鲁斯卡尔算法（kruskal）
思路：归并边，适合稀疏图——邻接表
设 N={V,E} 是有 n 个顶点的连通图
步骤：① 首先构造一个只有 n 个顶点，但没有边的非连通图T={V,}，图中每个顶点自成一个连通分量
② 当边集 E 中选到一条具有最小权值的边时，若该边的两个顶点落在T 中不同的连通分量上，则将此边加入到生成树的边集合T中，否则将此边舍去，重新选择一条权值最小的边
③ 如此重复下去，直到所有顶点在同一个连通分量上为止。此时的 T 即为所求最小生成树
例题：
