数据结构（c++版）：邻接矩阵的实现

图的矩阵表示：用数字编织的关系网

图（Graph）是计算机科学中一种重要的数据结构，它像一张错综复杂的蜘蛛网，能够清晰地表示事物之间的关系。让我们通过一个C++实现的邻接矩阵图类，来探索这种数据结构的奥秘。

图的骨架：邻接矩阵

想象你有一张城市地图，每个交叉路口是一个节点，道路则是连接这些节点的边。邻接矩阵就像一张表格，记录着每个路口到其他路口是否有道路相连。

class Graph
{
private:int topNums;int** edges;
public:Graph(int topNums);~Graph();void addEdges(int u, int v, int w);void printGraph();
};

这个Graph类就像是一个城市规划师的工具箱，topNums是城市中路口的数量，edges则是记录道路信息的表格。

建造城市：构造函数

构造函数就像是在一片空地上规划城市的基础设施：

Graph::Graph(int topNums)
{this->topNums = topNums;edges = new int* [topNums];for (int i = 0; i < topNums; i++){edges[i] = new int[topNums];for (int j = 0; j < topNums; j++){edges[i][j] = inf;}}
}

这个过程就像：

1. 决定城市要有多少个路口（topNums）
2. 为每个路口准备一个记录本（edges[i] = new int[topNums]）
3. 初始化时，假设所有路口之间都没有道路（edges[i][j] = inf）

铺设道路：添加边

void Graph::addEdges(int v, int u, int w)
{edges[v][u] = w;
}

这个方法就像是在两个路口之间修建一条道路。v是起点，u是终点，w是道路的长度或权重。如果是无向图，我们通常需要同时设置edges[u][v] = w，就像修建双向车道。

查看城市规划：打印图

void Graph::printGraph()
{for (int i = 0; i < topNums; i++){for (int j = 0; j < topNums; j++){cout << edges[i][j]<<" ";}cout << endl;}
}

这个方法就像打印出一张城市道路连接表，让你一眼看清哪些路口之间有道路相连，以及道路的长度。

清理现场：析构函数

Graph::~Graph()
{for (int i = 0; i < topNums; i++){delete[]edges[i];}delete[] edges;
}

当城市不再需要时，析构函数负责清理所有分配的内存，就像拆除不再使用的道路和路口。

构建一个示例图

int main()
{Graph g(6);g.addEdges(1, 3, 2);g.addEdges(1, 4, 5);g.addEdges(3, 2, 1);g.addEdges(2, 4, 1);g.addEdges(0, 3, 1);g.addEdges(4, 5, 1);g.printGraph();return 0;
}

这段代码构建了一个有6个节点的图，并添加了6条边。就像在一个有6个路口的城市中修建了6条道路。

二维指针数组的基本概念：

二维指针数组本质上是一个"指针的指针"结构。它就像一栋办公楼：

• 整栋楼是一个一级指针数组​（int** edges）
• 每一层楼是一个二级指针数组​（int* edges[i]）
• 每个办公室存储着一个具体的整数值（edges[i][j]）

int** edges; // 声明一个二维指针数组

内存分配过程详解

在构造函数中，我们为这个二维数组分配内存：

edges = new int* [topNums]; // 1. 分配第一维：创建指针数组
for (int i = 0; i < topNums; i++)
{edges[i] = new int[topNums]; // 2. 为每个指针分配第二维数组for (int j = 0; j < topNums; j++){edges[i][j] = inf; // 3. 初始化每个元素}
}

这个分配过程可以分为三个步骤：

1. ​分配第一维（楼层建设）​​：

   • new int* [topNums] 创建了一个包含topNums个指针的数组
   • 就像建造一栋有topNums层的大楼

2. ​分配第二维（每层办公室）​​：

   • edges[i] = new int[topNums] 为每一层创建包含topNums个整数的数组
   • 就像在每层楼建造topNums个办公室

3. ​初始化元素（办公室准备）​​：

   • edges[i][j] = inf 将每个位置初始化为无穷大（表示初始时无边）
   • 就像给每个办公室贴上"空置"标签

内存布局可视化

假设topNums=3，内存布局如下：

edges (int**)
│
├── edges[0] (int*) → [inf, inf, inf]
├── edges[1] (int*) → [inf, inf, inf]
└── edges[2] (int*) → [inf, inf, inf]

这种布局不是连续的二维数组，而是指针数组指向多个独立的一维数组。这与传统的栈上二维数组（如int edges[3][3]）在内存布局上有本质区别。

邻接矩阵的优缺点

邻接矩阵就像一张完整的城市道路规划表：

​优点：​​

• 查找两个节点是否相邻非常快速（O(1)时间复杂度）
• 适合表示稠密图（边很多的情况）
• 容易实现各种图算法

​缺点：​​

• 空间复杂度高（O(n²)）
• 对于稀疏图（边很少的情况）会浪费大量空间

比喻总结

想象你是一位城市规划师：

• Graph类是你的城市规划办公室
• 构造函数是你拿到一块空地开始规划
• addEdges是你在两个区域之间修建道路
• printGraph是你绘制城市道路地图
• 析构函数是城市废弃后的拆除工作

邻接矩阵就像一张巨大的Excel表格，每个单元格记录着两个区域之间的连接情况。虽然对于大型稀疏城市（图）来说有点浪费纸张（内存），但对于小型或高度连接的城市，它能提供一目了然的全貌。

通过这个比喻，我们可以更直观地理解图的邻接矩阵表示法及其实现方式。无论是社交网络、交通系统还是神经网络，图结构都在帮助我们理解和建模复杂的关系网络。