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标签：LeetCode 169, 多数元素, 摩尔投票法, Java算法, 数组处理
题目描述
给定一个大小为 n 的数组，找到其中的多数元素。多数元素是指在数组中出现次数 大于 ⌊n/2⌋ 的元素。你可以假设数组是非空的，并且给定的数组总是存在多数元素。
示例 1：
输入：[3,2,3]
输出：3
示例 2：
输入：[2,2,1,1,1,2,2]
输出：2
问题分析
多数元素问题要求我们找出数组中出现次数超过一半的元素。最直观的解法是使用哈希表统计元素出现次数，但这需要 O(n) 的额外空间。排序后取中间元素的解法需要 O(n log n) 的时间复杂度。那么是否存在一种既高效又节省空间的解法呢？
摩尔投票法 (Boyer-Moore Voting Algorithm) 正是解决这类问题的绝佳方案，它能在 O(n) 时间复杂度和 O(1) 空间复杂度内解决问题。
摩尔投票法原理
摩尔投票法的核心思想是元素抵消，它基于一个关键事实：由于多数元素的数量超过所有其他元素数量的总和，因此通过相互抵消的方式，最终剩下的必定是多数元素。
算法步骤
- 初始化候选元素
candidate和计数器count - 遍历数组中的每个元素：
- 当
count == 0时，将当前元素设为候选元素 - 当当前元素等于候选元素时，
count++ - 当当前元素不等于候选元素时，
count--
- 当
- 返回候选元素作为多数元素
为什么有效？
假设多数元素为 m，出现次数为 k，数组长度为 n，则：
k > n/2- 其他元素总数为
n-k < k
在遍历过程中：
- 每个
m使count+1 - 每个非
m使count-1
最终计数相当于：count = k - (n - k) = 2k - n
因为 k > n/2，所以 2k > n，即 2k - n > 0，因此最终 count > 0，候选元素必定是多数元素。
Java代码实现
class Solution {public int majorityElement(int[] nums) {// 初始化候选元素和计数器int candidate = nums[0];int count = 0;for (int num : nums) {// 当计数器为0时，选择新的候选元素if (count == 0) {candidate = num;}// 更新计数器：当前元素等于候选元素则+1，否则-1count += (num == candidate) ? 1 : -1;}// 最终候选元素即为多数元素return candidate;}
}
算法演示
以数组 [2,2,1,1,1,2,2] 为例：
| 步骤 | 当前元素 | candidate | count | 说明 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 2 | 1 | 初始化 candidate 为 2 |
| 2 | 2 | 2 | 2 | 相同元素，count++ |
| 3 | 1 | 2 | 1 | 不同元素，count– |
| 4 | 1 | 2 | 0 | 不同元素，count– |
| 5 | 1 | 1 | 1 | count=0，重置 candidate |
| 6 | 2 | 1 | 0 | 不同元素，count– |
| 7 | 2 | 2 | 1 | count=0，重置 candidate |
最终结果：2（正确）
复杂度分析
- 时间复杂度：O(n)，只需遍历数组一次
- 空间复杂度：O(1)，仅使用常数级别的额外空间
算法优势
- 空间效率：不需要额外的哈希表存储空间
- 时间效率：仅需一次遍历即可得到结果
- 简洁性：代码实现简单明了，逻辑清晰
- 通用性：适用于任何满足多数元素定义的场景
边界情况处理
虽然题目保证存在多数元素，但在实际应用中，我们可以添加验证步骤：
// 验证候选元素是否确实是多数元素
int verify = 0;
for (int num : nums) {if (num == candidate) {verify++;}
}if (verify > nums.length / 2) {return candidate;
} else {throw new IllegalArgumentException("No majority element exists");
}
实际应用场景
摩尔投票法不仅适用于算法题目，在实际开发中也有广泛应用：
- 选举系统中的多数票统计
- 分布式系统中的主节点选举
- 数据分析中的高频元素检测
- 容错系统中的多数决策机制
总结
摩尔投票法以其简洁高效的特点，成为解决多数元素问题的最佳方案。它通过巧妙的抵消策略，在O(n)时间复杂度和O(1)空间复杂度内解决问题，完美体现了"用简单方法解决复杂问题"的算法设计思想。
掌握摩尔投票法不仅能帮助你在算法面试中脱颖而出，更能提升你对高效算法设计的理解和应用能力。在实际开发中，这种空间高效的算法思想尤其适合处理大规模数据场景。
思考题：如果要求找出出现次数超过 n/3 的元素，该如何扩展摩尔投票法呢？