UVa 11853 Paintball

题目描述

你正在一个 $1000\times 1000$ 的正方形场地上玩彩弹游戏。场地上有若干对手躲在树后，每个对手位于 $(x,y)$ 位置，并且可以朝任意方向发射彩弹，攻击范围为 $r$。如果你在移动过程中进入任何对手的攻击范围，就会被击中。

场地左下角为 $(0,0)$，左上角为 $(0,1000)$。你必须从场地的左侧边（介于西南角和西北角之间）进入，从右侧边（介于东南角和东北角之间）离开。

对于每个场景，判断是否能完成穿越。如果能，输出进入点和离开点的坐标（保留两位小数），且要选择最北的入口；如果不能，输出 IMPOSSIBLE。

输入格式

输入包含多个场景。每个场景的第一行是整数 $n\le 1000$，表示对手数量。接下来 $n$ 行，每行包含三个实数：对手的 $(x,y)$ 坐标和攻击半径 $r$。

输出格式

对于每个场景，输出四个实数（保留两位小数）表示进入和离开坐标，或者输出 IMPOSSIBLE。

样例输入

3
500 500 499
0 0 999
1000 1000 200

样例输出

0.00 1000.00 1000.00 800.00

---

题目分析

问题本质

这是一个平面几何连通性问题：

• 每个对手相当于一个圆形禁区（圆心 $(x,y)$，半径 $r$）
• 我们需要判断是否存在一条从左边界到右边界的路径，全程不进入任何圆形禁区
• 如果存在，还要找到最北的入口和出口

关键观察

1. 屏障效应：如果存在一组相连的圆形成从上边界到下边界的连续屏障，则无法穿越
2. 边界阻挡：即使没有完整屏障，某些圆可能阻挡左侧或右侧的特定区域，影响入口和出口的选择

---

解题思路

第一步：判断可行性（是否存在通路）

使用并查集（$\text{Union-Find}$）来判断是否存在从上边界到下边界的连续屏障：

1. 合并相交的圆：如果两个圆的圆心距离小于等于半径之和，它们相交，属于同一连通分量
2. 标记边界接触：
   • 如果一个圆与上边界（$y=1000$）相交或相切，标记该连通分量接触上边界
   • 如果一个圆与下边界（$y=0$）相交或相切，标记该连通分量接触下边界
3. 检查屏障：如果存在某个连通分量同时接触上边界和下边界，则形成完整屏障，输出 IMPOSSIBLE

第二步：寻找最北入口和出口

使用 $\text{BFS}$（广度优先搜索）从接触上边界的圆开始扩展阻挡区域：

1. 初始化：将所有接触上边界的圆加入队列
2. BFS扩展：不断将与当前圆相交的未访问圆加入队列
3. 更新边界阻挡：
   • 对于每个访问到的圆，检查是否与左边界（$x=0$）相交
     • 如果相交，计算交点范围 $[y-\sqrt{r^2-x^2},y+\sqrt{r^2-x^2}]$
     • 更新左边界阻挡的最南端为这些交点范围的最小值
   • 同样检查是否与右边界（$x=1000$）相交
     • 如果相交，计算交点范围 $[y-\sqrt{r^2-(1000-x{)}^2},y+\sqrt{r^2-(1000-x{)}^2}]$
     • 更新右边界阻挡的最南端为这些交点范围的最小值
4. 确定入口和出口：
   • 最北入口 = 左边界阻挡的最南端（如果无阻挡则为 $1000.00$）
   • 最北出口 = 右边界阻挡的最南端（如果无阻挡则为 $1000.00$）

---

算法正确性证明

可行性判断

• 如果存在连通分量同时接触上下边界，则这些圆形成连续屏障，无法穿越
• 否则，至少存在一条通路可以穿越场地

最北入口确定

• 所有接触上边界的圆及其相连圆构成顶部阻挡区域
• 这个区域在左边界上的最南端点就是最北的安全入口
• 因为任何比这个点更北的入口都会被顶部阻挡区域拦截

参考代码

// Paintball
// UVa ID: 11853
// Verdict: Accepted
// Submission Date: 2025-10-30
// UVa Run Time: 0.010s
//
// 版权所有（C）2025，邱秋。metaphysis # yeah dot net#include <bits/stdc++.h>using namespace std;const double eps = 1e-8;
const double W = 1000.0;struct Circle {double x, y, r;
};double dist(double x1, double y1, double x2, double y2) {return hypot(x1 - x2, y1 - y2);
}bool circlesIntersect(const Circle& a, const Circle& b) {return dist(a.x, a.y, b.x, b.y) < a.r + b.r + eps;
}int parent[1005];int find(int x) {if (parent[x] != x) parent[x] = find(parent[x]);return parent[x];
}void unite(int a, int b) {a = find(a);b = find(b);if (a != b) parent[a] = b;
}int main() {ios_base::sync_with_stdio(false);cin.tie(NULL);int n;while (cin >> n) {vector<Circle> enemies(n);for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> enemies[i].x >> enemies[i].y >> enemies[i].r;}// ===== 第一步：用并查集判断是否存在通路 =====for (int i = 0; i < n; i++) parent[i] = i;// 合并相交的圆for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = i + 1; j < n; j++) {if (circlesIntersect(enemies[i], enemies[j])) {unite(i, j);}}}// 检查每个连通分量是否同时接触上边界和下边界vector<bool> top(n, false), bottom(n, false);for (int i = 0; i < n; i++) {int root = find(i);if (enemies[i].y + enemies[i].r > W - eps) top[root] = true;if (enemies[i].y - enemies[i].r < eps) bottom[root] = true;}bool impossible = false;for (int i = 0; i < n; i++) {if (parent[i] == i && top[i] && bottom[i]) {impossible = true;break;}}if (impossible) {cout << "IMPOSSIBLE\n";continue;}// ===== 第二步：寻找最北入口和出口 =====vector<bool> visited(n, false);double leftBlock = W;  // 左边界阻挡的最南端，初始为最北double rightBlock = W; // 右边界阻挡的最南端，初始为最北// BFS 从接触上边界的圆开始扩展阻挡区域vector<int> queue;for (int i = 0; i < n; i++) {if (enemies[i].y + enemies[i].r > W - eps) { // 接触上边界visited[i] = true;queue.push_back(i);}}// BFS 扩展阻挡区域for (int idx = 0; idx < queue.size(); idx++) {int u = queue[idx];const Circle& c = enemies[u];// 更新左边界阻挡if (c.x - c.r < eps) { // 接触左边界double dy = sqrt(max(0.0, c.r * c.r - c.x * c.x)); // 避免数值误差double bottomY = c.y - dy;if (bottomY < leftBlock) {leftBlock = bottomY;}}// 更新右边界阻挡if (c.x + c.r > W - eps) { // 接触右边界double dx = W - c.x;double dy = sqrt(max(0.0, c.r * c.r - dx * dx)); // 避免数值误差double bottomY = c.y - dy;if (bottomY < rightBlock) {rightBlock = bottomY;}}// 扩展相邻圆for (int v = 0; v < n; v++) {if (!visited[v] && circlesIntersect(c, enemies[v])) {visited[v] = true;queue.push_back(v);}}}// 确定入口和出口坐标double enterY, exitY;if (leftBlock > W - eps) {// 没有圆阻挡左边界，入口可以是 (0, 1000)enterY = W;} else {// 阻挡区域最南端就是最北入口enterY = leftBlock;// 如果阻挡区域延伸到 y = 0 以下，入口只能是0if (enterY < 0) enterY = 0;}if (rightBlock > W - eps) {// 没有圆阻挡右边界，出口可以是 (1000, 1000)exitY = W;} else {// 阻挡区域最南端就是最北出口exitY = rightBlock;// 如果阻挡区域延伸到 y = 0 以下，出口只能是 0if (exitY < 0) exitY = 0;}// 输出结果cout << fixed << setprecision(2)<< 0.00 << " " << enterY << " "<< W << " " << exitY << "\n";}return 0;
}