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        Z型隶属函数是模糊逻辑中常用的一种隶属函数，其形状类似于字母“Z”，呈现从1逐渐下降到0的平滑过渡。之前我们已经了解了S型隶属函数，而Z型通常和S型相关，它是S型隶属函数的反向形式，Z型是递减的，而S型是递增的。适用于描述变量从“完全隶属”到“完全不隶属”的递减过程，例如“低温”或“低风险”等模糊概念。

图1 S型隶属函数效果图

        有关S型隶属函数的内容可以看我的CSDN文章：https://lzm07.blog.csdn.net/article/details/146439053

1. 数学定义

跟S型隶属函数一样，Z型隶属函数也通常由两个参数定义：

（1）c：中心点，隶属度开始快速下降的位置。

（2）s：斜率参数，控制下降的陡峭程度。

其数学表达式可以表示为：

或简化为基于Sigmoid的反向函数：

其中：

（1）a：控制曲线的陡峭程度（负值表示递减）。

（2）c：隶属度下降到0.5的位置（中点）。

2. 特点

（1）平滑递减：隶属度从1平滑过渡到0，避免突变。

（2）参数灵活：

c 控制中点位置（隶属度0.5对应的输入值）。

a 或 s 控制下降速度（绝对值越大，过渡越陡峭）。

（3）单边性：仅描述从“完全隶属”到“完全不隶属”的单向变化。

3. 应用场景

（1）模糊控制：描述“低温”随温度升高的隶属度递减。

（2）风险评估：定义“低风险”随风险值增加的隶属度下降。

（3）分类系统：判定“非目标类别”的隶属度逐渐降低。

（4）自然语言处理：表示“不满足条件”的渐变过程。

4. Python实现与可视化

（1）Z型隶属函数python代码

以下是生成Z型隶属函数图的Python代码示例：

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltdef z_shaped_mf(x, c, s):"""基于分段二次函数的Z型隶属函数:param x: 输入值:param c: 中心点（隶属度开始快速下降的位置）:param s: 控制下降区间的宽度:return: 隶属度"""if x <= c - s:return 1.0elif c - s < x <= c:return 1 - 2 * ((x - (c - s)) ** 2 / (2 * s)) ** 2elif c < x <= c + s:return 2 * (((c + s - x) ** 2) / (2 * s)) ** 2else:return 0.0# 定义参数c = 5.0  # 中心点s = 2.0  # 控制下降区间宽度# 生成输入值x_values = np.linspace(0, 10, 1000)# 计算隶属度y_values = [z_shaped_mf(x, c, s) for x in x_values]# 绘制图形plt.figure(figsize=(8, 4))plt.plot(x_values, y_values, label=f'Z-shaped MF: c={c}, s={s}')plt.title('Z-shaped Membership Function')plt.xlabel('x')plt.ylabel('Membership Degree (μ)')plt.legend()plt.grid(True)plt.show()

（2）代码说明

1）函数定义：

z_shaped_mf函数使用分段二次函数实现Z型曲线，参数 c 和 s 控制形状。

当 x≤c-s 时，隶属度为1；当x>c+s 时，隶属度为0；中间区间平滑过渡。

2）参数设置：

c = 5.0：隶属度从1开始下降的中心点。

s = 2.0：控制下降区间宽度（[c-s,c+s] 为过渡区间）。

（3）运行结果：

图形在x=3（即c-s=5-2）之前隶属度为1，之后逐渐下降，在x=7（即c+s=5+2）之后为0。

图2 c = 5.0和s = 2.0时Z型隶属函数效果图

6. 参数调整示例

（1）调整中心点c：

c = 6.0  # 隶属度下降中心右移

隶属度在x=4 到x=8 之间下降。s = 2.0时，效果图如下：

图3 c = 6.0和s = 2.0时Z型隶属函数效果图

（2）调整宽度 s：

s = 1.0  # 下降区间变窄

隶属度在x=4 到x=6之间快速下降。c = 5.0时，效果图如下：

图4 c = 5.0和s = 1.0时Z型隶属函数效果图

7. 与S型隶属函数的对比

（1）Z型：隶属度从1递减到0，适合描述“非”或“低”概念。

（2）S型：隶属度从0递增到1，适合描述“是”或“高”概念。

两者可结合使用，构建对称或互补的模糊集合（例如“低温”和“高温”）。

特征	Z型隶属函数	S型隶属函数
形状	递减曲线（从1到0，类似字母“Z”）	递增曲线（从0到1，类似字母“S”）
数学表达式
参数意义	- c：隶属度0.5的位置 - a：负值控制下降速度	- c：隶属度0.5的位置 - a：正值控制上升速度
适用场景	描述“低值”或“否定”概念（如低温、低风险）	描述“高值”或“肯定”概念（如高温、高风险）
计算复杂度	中等（涉及指数运算）	中等（与Z型相同）
平滑性	平滑递减，无突变	平滑递增，无突变
组合使用	与S型结合可覆盖全范围（如低温+高温）	与Z型结合可实现对称逻辑（如低风险+高风险）

8. 优缺点分析

（1）优点：平滑过渡，避免隶属度突变。参数直观，易于调整形状。

（2）缺点：计算复杂度略高于三角形/梯形函数。无法直接描述多峰或对称集合。

9. 实际应用案例

Z型案例：空调控制系统中的“低温”判定

（1）输入变量：温度T（范围：0°C 到 30°C）。

（2）Z型隶属函数参数：c=15°C，s=5°C。

1）当T≤10°C 时，隶属度为1（完全属于“低温”）。

2）当T 在10°C 到20°C 之间时，隶属度逐渐下降。

3）当T>20°C 时，隶属度为0（不属于“低温”）。

Z型+S型结合案例：温度控制系统

（1）目标：根据温度T 控制冷气阀门开度 Y。

（2）输入变量：温度T（范围：0°C 到 40°C）。

（3）模糊集合：

低温（Z型）：隶属度从1递减到0，中心点c=15°C，斜率a=-0.5。

高温（S型）：隶属度从0递增到1，中心点c=25°C，斜率a=0.5。

（4）输出逻辑：

若温度“低温”隶属度高，则减少阀门开度。

若温度“高温”隶属度高，则增加阀门开度。

（5）Z型与S型结合使的Python代码示例：

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltdef sigmoid_mf(x, a, c, is_increasing=True):"""S型或Z型隶属函数"""sigmoid = 1 / (1 + np.exp(-a * (x - c)))return sigmoid if is_increasing else 1 - sigmoid# 参数设置x = np.linspace(0, 40, 1000)  # 温度范围：0°C 到 40°C# Z型（低温）：中心点15°C，斜率-0.5z_low = [sigmoid_mf(t, a=-0.5, c=15, is_increasing=False) for t in x]# S型（高温）：中心点25°C，斜率0.5s_high = [sigmoid_mf(t, a=0.5, c=25, is_increasing=True) for t in x]# 绘制Z型和S型曲线plt.figure(figsize=(10, 5))plt.plot(x, z_low, 'b', label='Z-shaped (Low Temperature: c=15, a=-0.5)')plt.plot(x, s_high, 'r', label='S-shaped (High Temperature: c=25, a=0.5)')plt.title('Combined Z-shaped and S-shaped Membership Functions')plt.xlabel('Temperature (°C)')plt.ylabel('Membership Degree')plt.legend()plt.grid(True)plt.show()# 结合使用：计算阀门的建议开度（示例逻辑）valve_opening = np.maximum(np.array(z_low), np.array(s_high))# 绘制阀门开度建议plt.figure(figsize=(10, 5))plt.plot(x, valve_opening, 'g', label='Valve Opening Suggestion (Max of Z & S)')plt.title('Valve Opening Based on Combined Membership')plt.xlabel('Temperature (°C)')plt.ylabel('Valve Opening Degree')plt.legend()plt.grid(True)plt.show()

代码说明与输出结果

1）参数定义：

·Z型（低温）：中心点c=15°C，斜率a=-0.5，表示温度低于15°C时隶属度高，逐渐递减。

·S型（高温）：中心点c=25°C，斜率a=0.5，表示温度高于25°C时隶属度高，逐渐递增。

2）图形输出：

·第一张图：展示Z型（蓝色）和S型（红色）隶属函数曲线，低温在左侧隶属度高，高温在右侧隶属度高。

图5 Z型和S型结合隶属函数对输入变量转换效果图

·第二张图：基于两者隶属度的最大值生成阀门开度建议，温度在15°C到25°C之间时，开度由两者的较高值决定。

图6 Z型和S型结合隶属函数对输出变量控制效果图

3）逻辑解释：

当温度低于15°C时，Z型隶属度高，阀门开度低（减少制冷）。

当温度高于25°C时，S型隶属度高，阀门开度高（增强制冷）。

在15°C到25°C之间，阀门开度由两者中较高的隶属度决定，实现平滑过渡。

4）结合使用的优势

·覆盖全范围：Z型和S型组合可描述从“低温”到“高温”的全温度范围。

·平滑过渡：中间区域的隶属度由两者共同决定，避免控制突变。

·灵活调整：通过修改参数 a 和 c，可精确控制过渡区间和陡峭程度。

10. 总结

        Z型隶属函数通过平滑递减的特性，为模糊系统提供了描述“否定”或“低值”概念的有效工具。结合S型函数，可构建覆盖全范围的模糊逻辑系统，适用于控制、分类和风险评估等场景。通过调整参数c 和 s，可灵活适应不同需求。