根据三阶Bezier曲线起点到中间某点的弧长，确定该点的参数u值的方法

根据三阶Bezier曲线从起点到中间某点的弧长 s，反求该点对应的参数 u（即 B(u) 满足从 t=0 到 t=u 的弧长为 s），是一个典型的“弧长反求参数”问题。由于三阶Bezier曲线的弧长没有闭式表达式，因此无法直接解析求解 u，必须采用数值方法。

问题描述

给定：

• 三阶Bezier曲线：B(t)，t ∈ [0,1]
• 起点 B(0)
• 弧长 s > 0（从 t=0 到目标点的弧长）

求：

• 参数 u ∈ [0,1]，使得 ∫₀ᵘ ‖B′(t)‖ dt = s

核心思想

定义弧长函数：

S(u) = ∫₀ᵘ ‖B′(t)‖ dt

我们要求解方程：

S(u) = s

这是一个非线性方程求根问题，可通过迭代法求解。

解法步骤

步骤1：预计算弧长函数 S(u)

由于需要多次计算 S(u)，建议预先构建一个高效的数值积分方案。

使用高斯-Legendre求积法（或其他高阶数值积分）计算 S(u)：

S(u) ≈ (u/2) · Σᵢ₌₁ⁿ w_i · ‖B′((u/2)(u_i + 1))‖

其中：

• u_i, w_i 是标准高斯点和权重（在 [-1,1]）
• B′(t) 是Bezier导数（见前文）

或者更简单地使用自适应Simpson或Romberg积分。

实际实现中，可对 [0,1] 区间离散化，预先计算多个 S(u_k) 构建查找表，用于初值估计。

步骤2：使用牛顿-拉夫逊法（Newton-Raphson）

这是最常用且收敛快的方法。

定义残差函数：

F(u) = S(u) - s

其导数为：

F′(u) = dS(u)/du = ‖B′(u)‖

牛顿迭代公式：

u_{k+1} = u_k - F(u_k)/F′(u_k) = u_k - (S(u_k) - s) / ‖B′(u_k)‖

迭代流程：

1. 初始化 u₀（如 u₀ = s / L，L 为总弧长，作为初值）
2. 计算 S(u_k)（数值积分）
3. 计算 B′(u_k) 和 ‖B′(u_k)‖
4. 更新：u_{k+1} = u_k - (S(u_k) - s) / ‖B′(u_k)‖
5. 若 |u_{k+1} - u_k| < ε，停止；否则继续。

步骤3：替代方法（若导数难求或初值不准）

A. 割线法（Secant Method）

不依赖导数，用差分近似：

u_{k+1} = u_k - F(u_k) · (u_k - u_{k-1}) / (F(u_k) - F(u_{k-1}))

需要两个初值 u₀, u₁。

B. 二分法（Bisection）

• 设 a=0, b=1
• 若 S(a) ≤ s ≤ S(b)，取中点 m=(a+b)/2
• 若 S(m) < s，则 a = m；否则 b = m
• 直到 |S(m) - s| < ε

优点：总是收敛，适合粗略定位。 缺点：收敛慢（线性）。

C. 混合策略（推荐）

先用二分法快速逼近到解附近，再切换到牛顿法加速收敛。

提高效率的技巧

1. 预计算总弧长 L = S(1)
   可用于归一化初值：u₀ = s / L

2. 构建弧长查找表（Arc-length Table）
   在 [0,1] 上等距取 N 个点 t_i，计算 S(t_i)，存储为 (S_i, t_i) 对。
   给定 s，用插值（如线性或样条）估计 u₀，作为牛顿法初值。

3. 缓存导数与积分结果
   避免重复计算 B′(t) 和 S(u)。

总结

方法	是否需导数	收敛速度	稳定性	推荐用途
牛顿法	是	快（二阶）	中	初值好时首选
割线法	否	较快	中	导数难求时
二分法	否	慢（线性）	高	定位初值或保底
查找表+插值	否	—	高	快速近似，提供初值

推荐流程

1. 预计算总弧长 L 和弧长查找表。
2. 用查找表插值得到初值 u₀ ≈ f(s)。
3. 使用牛顿法迭代精化 u，直到满足精度。
4. 返回最终 u 值。

此方法广泛应用于路径规划、动画插值、CNC加工等领域。