前缀和的利用 前缀和的扩展问题

何为前缀和：对数组元素做累加和

按照以下示例展示前缀和计算方法：
注意！！！！：前缀和数组第一个元素永远都是0，累加和从第二处开始添加

应用场景：求任意子数组 / 求数组内任意一个连续范围内 的和

初始状态：
1、nums = [1, 1, -1, 1, -1]
2、前缀和数组 s = [0, 0, 0, 0, 0, 0]。这是因为我们需要一个多一位的数组，其中 s[0] = 0 代表没有元素的前缀和。

计算前缀和数组 s：
迭代1：
nums[0] = 1，计算 s[[1]]= s[0] + 1 = 0 + 1 = 1，前缀和更新为 s = [0, 1, 0, 0, 0, 0]。
迭代2：
nums[[1]] = 1，计算 s[[2]] = s[[1]] + 1 = 1 + 1 = 2，前缀和更新为 s = [0, 1, 2, 0, 0, 0]。
迭代3：
nums[[2]] = -1，计算 s[[3]] = s[[2]] + (-1) = 2 - 1 = 1，前缀和更新为 s = [0, 1, 2, 1, 0, 0]。
迭代4：
nums[[3]] = 1，计算 s[[4]] = s[[3]] + 1 = 1 + 1 = 2，前缀和更新为 s = [0, 1, 2, 1, 2, 0]。
迭代5：
nums[[4]] = -1，计算 s[[5]] = s[[4]] + (-1) = 2 - 1 = 1，前缀和更新为 s = [0, 1, 2, 1, 2, 1]。

如何用前缀和在一次O(N)找到所有符合要求的子数组数量？

我们以 力扣560. 和为 K 的子数组 为例对该问题进行求解

步骤 1 ：求出前缀和（见第一节）

步骤 2 ：在前缀和上进行遍历，找到所有目标值

如何在前缀和上找到任意一个子数组的和：s[j] - s[i] = SUM
本题要求和为K，所以转化成：s[j] - s[i] = k
1、一个朴素的想法就是，枚举J的位置，再从0处枚举i，找到一个前缀和s[i]的值满足：s[i] = s[j] - k
2、但是显而易见的，复杂度=O(n^2)，对于本题而言不可以，那么有没有什么办法可以省略掉第二次循环？
3、第二次循环的目的是什么？找到满足要求的所有s[i]的数量，所以我们动态维护就好了，采用一个字典维护出现过的所有前缀和的值以及他们的出现次数，这样就可以在O(1)的时间内得到满足要求的数量
4、这时，只需要遍历完所有元素，累加出的和即为答案。

步骤 3 ：循环次数优化

很显然，对于每次的s[j]前面的元素，我已经不需要存储在数组中，只需要维护在HashMap中即可，我每次先更新此处的前缀和值，再根据s[i] = s[j] - k 找到s[i]的值，最后去HashMap中找到s[i]出现了几次，最后做累加即可。所以显而易见的，可以边算前缀和边统计

步骤 4 ：初始值

满足上述计算条件，需要从nums[0]也就是s[1]开始，所以要把s[0]=0初始状态加到HashMap中，即初始值HashMap[0] = 1

实现

class Solution {
public:
    int subarraySum(vector<int>& nums, int k) {
        int ans = 0;
        unordered_map<int, int> cnt{ { 0,1 } };//注意写法
        int s = 0;
        for (int x : nums) {
            s += x;//先计算此处前缀和的值
            ans += cnt.find(s - k) == cnt.end() ? 0 : cnt[s - k];//在寻找s[i]出现几次，这里注意，不要直接调用cnt[s - k],因为没有cnt[s - k]的话会插入
            cnt[s]++;//s出现次数多一次，在字典中为其更新
        }
        return ans;
    }
};

变种问题（同类问题，加一些帽子）

我们以 力扣2588. 统计美丽子数组数目 为例对该问题进行求解

步骤 1 ：转化问题

很明显的，从十进制看不出任何规律，并且，题目中明确提示了二进制，所以把例一转化一下，把每个数都写成二进制：

													100
													011
													001
													010
													100

​我们此时再看例一中两个符合要求的组，很明显的，以[4,3,1,2,4]为例，我们发现各个列都是2个1，另一个美丽子数组也同样。所以，很明显，体重操作就是执行异或操作，只要选择的数如上述摆放，每一列偶数个1就满足要求。

换句话说：满足要求的子数组，其所有元素的异或和 = 0

所以本题转化为：找到满足子数组所有元素异或和 = 0的子数组个数

步骤 2 ：套用上一题

把上一题中 k 设置为 0 即可
+ 运算改为 ^ 即可

步骤 3 ：实现

class Solution {
public:
    long long beautifulSubarrays(vector<int>& nums) {
        long long ans = 0;
        unordered_map<int, int> cnt{{0, 1}};
        int s = 0;
        for (int x : nums) {
            s ^= x;
            ans += cnt[s - 0]++;
        }
        return ans;
    }
};