收敛级数的和（Sum of Convergent Series）

收敛级数的和（Sum of Convergent Series）

flyfish

一、从数列到级数

数列：是一列按顺序排列的数，比如 $1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\dots$（每一项是 $\frac{1}{n}$，$n=1,2,3,\dots$）。
级数：把数列的无穷多项依次相加，得到的表达式就是级数。比如上面的数列对应的级数是 $$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\dots$$，记为 $$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}$$（“$\sum$”是求和符号，下标表示从第1项开始，上标“$\infty$”表示无穷项）。

二、部分和：判断级数“收敛/发散”的工具

要理解级数的“和”，需要先引入部分和的概念：
级数的前$n$项和称为“部分和”，记为 $S_n$。
比如级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}$的部分和
$S_1=1$，
$S_2=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$，
$S_3=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{11}{6}$，以此类推。
当 $n$ 无限增大时（即 $n\to \infty$），如果部分和 $S_n$ 能趋近于一个确定的有限值，我们就说这个级数收敛；如果 $S_n$ 趋向于无穷大或来回震荡，就说级数发散。

三、收敛级数：无穷项相加能得到“确定的和”

理解

若 ${\lim }_{n\to \infty }{S}_n=S$（$S$ 是有限数），则级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 收敛，且和为 $S$。

典型例子：几何级数（等比级数）

形式：$$\sum _{n=0}^{\infty }a{r}^n=a+ar+a{r}^2+a{r}^3+\dots$$（$a$ 是首项，$r$ 是公比）。
当 $|r|<1$ 时，级数收敛，和为 $S=\frac{a}{1-r}$。

比如：$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots$（$a=1$，$r=\frac{1}{2}$），和为 $\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$。

当 $|r|\ge 1$ 时，级数发散（比如 $1+2+4+8+\dots$，部分和会趋向无穷大）。

公比（Common Ratio）是几何级数（等比级数） 特有的概念，指的是级数中任意一项与它前一项的比值，且这个比值在整个级数中固定不变。

只要找到几何级数中相邻两项的“固定倍数关系”，这个倍数就是公比，通常用字母 $r$ 表示。

公比

以几何级数的一般形式 $a_1+a_{1}r+a_1{r}^2+a_1{r}^3+\dots$ 为例（$a_1$ 是首项）：
第2项 $a_{1}r$ 与第1项 $a_1$ 的比：$$\frac{a_{1}r}{a_1}=r$$
第3项 $a_1{r}^2$ 与第2项 $a_{1}r$ 的比：$$\frac{a_1{r}^2}{a_{1}r}=r$$
第 $n$ 项 $a_1{r}^{n-1}$ 与第 $n-1$ 项 $a_1{r}^{n-2}$ 的比：$$\frac{a_1{r}^{n-1}}{a_1{r}^{n-2}}=r$$

无论选哪一组相邻项，比值始终是 $r$，这就是公比的本质——“恒定的相邻项比值”。

用具体例子理解公比

通过不同类型的几何级数，能更直观看到公比的特点：

几何级数实例	首项 $a_1$	相邻项的比（计算公比）	公比 $r$	特点（项的变化规律）
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …	1	$2÷1=2$，$4÷2=2$，$8÷4=2$	2	公比为正整数，项逐渐增大
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + …	1	$(1/2)÷1=1/2$，$(1/4)÷(1/2)=1/2$	1/2	公比为正分数（$0<r<1$），项逐渐减小
5 - 10 + 20 - 40 + …	5	$(-10)÷5=-2$，$20÷(-10)=-2$	-2	公比为负数，项的符号交替变化
3 + 0 + 0 + 0 + …	3	$0÷3=0$，$0÷0$（无意义）	无（或说不满足几何级数定义）	公比不能为0，否则后续项全为0，失去“固定比值”的意义

四、发散级数：无穷项相加“没有确定的和”

理解

若 ${\lim }_{n\to \infty }{S}_n$ 不存在（或趋向 $\pm \infty$），则级数发散。

算术级数（等差级数）：如 $1+2+3+4+\dots$（公差 $d=1$），部分和 $S_n=\frac{n(n+1)}{2}$ 趋向无穷大，发散。

性质

一、收敛的必要条件：“通项极限为0”≠“级数收敛”

性质内容

若级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 收敛，则 ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=0$（通项趋近于0）；但反过来不成立——即使 ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=0$，级数也可能发散。

例子对比

类型	具体级数	通项极限 ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n$	级数收敛/发散	结论（对应性质）
收敛级数	几何级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{2^n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots$	${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{2^n}=0$	收敛（和为1）	收敛级数的通项一定趋近于0
发散级数	调和级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots$	${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{n}=0$	发散	通项趋近于0，级数不一定收敛（关键反例）

不能仅凭“通项越来越小”就判断级数收敛，必须结合其他方法（如部分和极限、判别法）。

二、线性性质：收敛级数的“加减、缩放”仍收敛

性质内容

若两个级数都收敛：
设 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n=A$（和为A），${\sum }_{n=1}^{\infty }{b}_n=B$（和为B）；

则对任意常数 $k$（缩放系数）、$m$（缩放系数），新级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }(k{a}_n+m{b}_n)$ 仍收敛，且和为 $kA+mB$。

具体例子

1. 先选两个简单的收敛级数：
   级数1：$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{2^n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots$$，和 $A=1$（几何级数，公比$\frac{1}{2}<1$，和$\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=1$）；
   级数2：$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{4^n}=\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+\dots$$，和 $B=\frac{1}{3}$（几何级数，公比$\frac{1}{4}<1$，和$\frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{1}{3}$）。

2. 构造线性组合（比如“2×级数1 + 3×级数2”）：
   新级数：$$2\times (\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\dots )+3\times (\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\dots )=1+\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+\frac{1}{4}+\frac{3}{16}+\dots$$；
   按性质计算和：$2A+3B=2\times 1+3\times \frac{1}{3}=3$；
   验证：直接算新级数的和，确实等于3（可通过部分和极限验证）。

只有两个级数都收敛时，线性性质才成立；若其中一个发散，新级数一定发散（比如“收敛级数 + 发散级数”，结果发散）。

三、加括号性质：收敛级数“加括号”不改变收敛性，发散级数则不一定

1. 若级数收敛，对其任意加括号（比如每2项、3项括成一组），新级数仍收敛，且和与原级数相同；
2. 若级数发散，加括号后可能“看似收敛”，但原级数依然发散（加括号无法让发散级数变收敛）。

例子1：收敛级数加括号（和不变）

原级数：收敛的几何级数 $$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{2^n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\dots$$，和为1。

加括号后（每2项一组）：
新级数：$$(\frac{1}{2}+\frac{1}{4})+(\frac{1}{8}+\frac{1}{16})+(\frac{1}{32}+\frac{1}{64})+\cdots =\frac{3}{4}+\frac{3}{16}+\frac{3}{64}+\dots$$；
计算新级数的和：这是首项$\frac{3}{4}$、公比$\frac{1}{4}$的几何级数，和为$\frac{\frac{3}{4}}{1-\frac{1}{4}}=1$，与原级数和一致。

例子2：发散级数加括号（看似收敛，实则原级数仍发散）

原级数：发散的交错级数 $$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n+1}=1-1+1-1+1-1+\dots$$（部分和在1和0之间震荡，无确定极限，发散）。

加括号后（每2项一组）：
新级数：$$(1-1)+(1-1)+(1-1)+\cdots =0+0+0+\dots$$，和为0（看似收敛）；
但原级数依然发散：因为加括号只是“改变了求和顺序的分组方式”，没有解决原级数部分和震荡的问题，不能仅凭加括号后的结果判断原级数收敛。