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数学分析简明教程课后习题详解——1.1

news 2025/10/28 14:10:53

自用

【Easy】1.设a为有理数，x为无理数。证明：

（1）a+x是无理数；（2）当 $a\neq 0$ 时，ax是无理数。

（1）任何有理数都可以表示成： $\frac{q}{p}$ 的形式，反之任何形如 $\frac{q}{p}$ 的形式都是有理数

$\because$ a是有理数，所以 $a=\frac{q}{p}$ ，若a+x是有理数那么 $a+x=\frac{q{}'}{p{}'}$

$\therefore$ $x=\frac{q{}'}{p{}'}-a=\frac{q{}'}{p{}'}-\frac{q}{p}$ ,此处x显然是一个有理数，与条件中x是一个无理数矛盾

$\therefore$ 由此可知a+x是无理数

核心：反证法，假设a+x是一个有理数

（2）若ax是一个有理数，那么 $ax=\frac{q{}'}{p{}'}$ ，

$\therefore$ $x=\frac{q{}'p}{p{}'q}$ ，此处x显然是一个有理数，与条件中x是一个无理数矛盾

$\therefore$ 由此可知a+x是无理数

核心：反证法，假设a+x是一个有理数

【Easy】2.试着在数轴上表示出下列不等式的解：

（1） $x(x^2-1)>0$ （2） $\left | x-1 \right |<\left | x-3 \right |$ （3） $\sqrt{x-1}-\sqrt{2x-1}\geqslant \sqrt{3x-2}$

（1） $x(x^2-1)=x(x-1)(x+1)$

因为x系数为正，由数轴穿根法可知 $\left \{ x|-1<x<0 \; or \; x>1 \right \}$

数轴略

（2） $\left | x-1 \right |<\left | x-3 \right |$ 左右同时平方得到 $x^2 -2x+1<x^2-6x+9$

$\therefore$ $x<2$

（3） $\sqrt{x-1}-\sqrt{2x-1}\geqslant \sqrt{3x-2}$ 左右同时平方得到 $x-1+2x-1-2\sqrt{x-1}\sqrt{2x-1}\geqslant 3x-2$

$\therefore$ $-2\sqrt{x-1}\sqrt{2x-1}\geqslant0$

$\because$ $\sqrt{x-1}\sqrt{2x-1}\geq 0$ $\therefore$ 原不等式无解

【Middle】3.设 $a,b\in R.$ 证明：若对任何正数 $\epsilon$ 有 $\left | a-b \right |<\epsilon$ ,则a=b.

假设 $a\neq b$ ,则 $\left | a-b \right |>0$ ,取 $\epsilon = \frac{\left | a-b \right |}{2}$ ，则 $\left | a-b \right |<\epsilon= \frac{\left | a-b \right |}{2}$

不等式不成立故与假设矛盾，故 $a=b$

【Easy】4.设 $x\neq 0$ ，证明 $\left | x+\frac{1}{x} \right |\geqslant 2$ ,并说明其中等号何时成立

当x>0时， $x+\frac{1}{x} \geqslant 2\sqrt{x\cdot \frac{1}{x}}= 2$

当x<0时， $x+\frac{1}{x}=-(-x+\frac{1}{-x})$ $\because$ $-x+\frac{1}{-x}\geqslant 2$ $\therefore$ $x+\frac{1}{x}\leqslant -2$

$\therefore$ $\left | x+\frac{1}{x} \right |\geqslant 2$

其中 $x=\pm 1$ 时等号成立

【Middle】5.证明：对任意 $x\in R.$ 有

并说明等号何时成立

当且仅当 $x\in [1,2]$ 时，等号成立

当且仅当 $x=2$ 时，等号成立

【Middle】6.设 $a,b,c\in R^+.$ 证明 $\left | \sqrt{a^2+b^2}- \sqrt{a^2+c^2} \right |\leqslant \left | b+c \right |$ ,并说明其几何意义

将左侧有理化，得到： $\left | \sqrt{a^2+b^2}- \sqrt{a^2+c^2} \right |=\frac{\left | b^2-c^2 \right |}{\left | \sqrt{a^2+b^2}+ \sqrt{a^2+c^2} \right |}=\frac{\left | b+c\right |\left | b-c \right |}{\left | \sqrt{a^2+b^2}+ \sqrt{a^2+c^2} \right |}$

$\because$ $\sqrt{a^2+b^2}+ \sqrt{a^2+c^2}\geqslant b+c$ $\therefore$ $\frac{\left | b+c\right |\left | b-c \right |}{\left | \sqrt{a^2+b^2}+ \sqrt{a^2+c^2} \right |}\leqslant \left | b-c \right |$