题目 3220 ⭐因数计数⭐【数理基础】蓝桥杯2024年第十五届省赛

小蓝随手写出了含有 $n$ 个正整数的数组 $a_1,a_2,\cdot \cdot \cdot ,a_n$ ，他发现可以轻松地算出有多少个有序二元组 $(i,j)$ 满足 $a_j$ 是 $a_i$ 的一个因数。因此他定义一个整数对 $(x_1,y_1)$ 是一个整数对 $(x_2,y_2)$ 的“因数”当且仅当 $x_1$ 和 $y_1$ 分别是 $x_2$ 和 $y_2$的因数。他想知道有多少个有序四元组 $(i,j,k,l)$ 满足 $(a_i,a_j)$ 是 $(a_k,a_l$) 的因数，其中 $i,j,k,l$ 互不相等。

问题分析：

我们需要找到所有满足以下条件的有序四元组 $(i,j,k,l)$：

• $(a_i,a_j)$ 是 $(a_k,a_l)$ 的因数，即：
  • $a_i$ 是 $a_k$ 的因数。
  • $a_j$ 是 $a_l$ 的因数。
• $i,j,k,l$ 互不相等。

解决思路：

• 统计每个数的因数关系：
  • 对于数组中的每个数 $x$，统计有多少个数是 $x$ 的因数。遍历数组，对于每个数 $x$，遍历所有可能的因数 $d$（$d$ 从 1 到 $sqrt(x)$），如果 $d$ 是 $x$ 的因数，则记录 $d$ 和 $x/d$。
  • 使用一个哈希表或数组 factor_count 来记录每个数的因数个数。
• 枚举四元组：
  • 对于每一对 $(a_k,a_l)$，找到所有满足 $a_i$ 是 $a_k$ 的因数且 $a_j$ 是 $a_l$ 的因数的 $(a_i,a_j)$。
  • 由于 $i,j,k,l$ 必须互不相等，需要排除重复的情况。
• 计算结果：
  • 对于每一对 $(a_k,a_l)$，计算满足条件的 $(a_i,a_j)$ 的数量，并累加到结果中。
  • 如果 $a_k$ 和 $a_l$ 的因数中包含本身，需要减去重复的情况。

#include <iostream>
#include <vector>
#include <unordered_map>
#include <cmath>
using namespace std;

// 统计每个数的因数个数
unordered_map<int, int> countFactors(const vector<int>& nums) {
    unordered_map<int, int> factor_count;
    for (int x : nums) {
        int count = 0;
        for (int d = 1; d <= sqrt(x); d++) {
            if (x % d == 0) {
                count++;
                if (d != x / d) {
                    count++;
                }
            }
        }
        factor_count[x] = count;
    }
    return factor_count;
}

// 计算满足条件的四元组数量
int countValidQuadruples(const vector<int>& nums) {
    int n = nums.size();
    if (n < 4) return 0;

    // 统计每个数的因数个数
    unordered_map<int, int> factor_count = countFactors(nums);

    int result = 0;
    for (int k = 0; k < n; k++) {
        for (int l = 0; l < n; l++) {
            if (k == l) continue; // 确保 k 和 l 不相等
            int ak = nums[k];
            int al = nums[l];
            // 计算满足 ai 是 ak 的因数且 aj 是 al 的因数的 (ai, aj) 的数量
            int count_ai = factor_count[ak];
            int count_aj = factor_count[al];
            // 排除 ai 或 aj 等于 ak 或 al 的情况
            if (ak % ak == 0 && al % al == 0) {
                count_ai--;
                count_aj--;
            }
            result += count_ai * count_aj;
        }
    }
    return result;
}

复杂度分析：

• 时间复杂度：
  • 预处理因数关系：$O(n\ast \sqrt{max\_num})$，其中 $n$ 是数组长度，$max\_num$ 是数组中的最大值。
  • 枚举四元组：$O(n^2)$。
  • 总时间复杂度：$O(n^2+n\ast \sqrt{max\_num})$。
• 空间复杂度：
  • 哈希表 factor_count 的空间复杂度为 $O(n)$。