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梯度下降法

1、基本思想：先设定一个学习率$\eta$，参数沿梯度的反方向移动。假设需要更新的参数为w,梯度为g，更新策略可以表示为
$$w\leftarrow w-\eta \ast g$$
2、梯度下降算法有三种不同的形式：

• BGD（Batch Gradient Descent）：批量梯度下降，每次参数更新使用所有样本
• SGD（Stochastic Gradient Descent）：随机梯度下降，每次参数更新只使用一个样本
• MBGD（Mini-Batch Gradient Descent）：小批量梯度下降，每次参数更新使用小部分数据样本

三个优化算法虽然采用的数据量不同，但是步骤相同

$$\begin{gathered} \text{step1}g=\frac{\partial loss}{\partial w} \\ step2求梯度的平均值 \\ step3更新权重w\leftarrow w-\eta \ast g \end{gathered}$$

缺点

• 对超参数学习率敏感：过小导致收敛速度过慢，过大又越过极值点
• 容易卡在鞍点位置，即梯度为0的地方
• 在比较平坦的区域，由于梯度接近于0，优化算法会因误判，还未到达极值点，就提前结束迭代，陷入局部最小值

多维梯度下降法

即有多个参数需要优化$X=[x_1,x_2....,x_d{]}^T$
多元损失函数，梯度也是多元的，由d个偏导数组成
$$\nabla f(X)={\frac{\nabla f_x}{\nabla x_1},\frac{\nabla f_x}{\nabla x_2}..,\frac{\nabla f_x}{\nabla x_d}}^T$$
$$x_i\leftarrow x_i-\eta \ast \nabla f(X)$$
构造一个目标函数$f(x)=x_1^2+2x_2^2$，损失函数的梯度为$\nabla f(x)=[2x_1,,4x_2{]}^T$

动量

思想：让参数的更新具有惯性，每一步更新都是由前面梯度的累积v和当前点梯度g组合而成

公式：
累计梯度更新：$v\leftarrow \alpha v+(1-\alpha )g$，其中$\alpha$为动量参数，v为累计梯度，$\eta$为学习率。
梯度更新：$x\leftarrow x-\eta \ast v$

优点：

• 加快收敛帮助参数在正确的方向上加速前进
• 跳出局部最小值
  

Adagrad

自适应学习率优化算法
之前的随机梯度下降法，对所有的参数，都是使用相同的、固定的学习率进行优化，但是不同的参数的梯度差异可能很大，使用相同的学习率，效果不会很好。

Adagrad思想：对于不同参数，设置不同的学习率，如果一个参数的梯度一直很大，那么其对应的学习率就变小一点，防止振荡，如果梯度小，就学习率大一点。
方法：对于每个参数，初始化一个累计平方梯度 r=0，然后每次将该参数的梯度平方求和累加到这个变量r上：
$$r\leftarrow r+g^2$$
更新参数时，学习率为：
$$\frac{\eta }{\sqrt{r+\sigma }},\sigma 为极小值，防止分母为0$$
权重更新：
$$w\leftarrow w-\frac{\eta }{\sqrt{r+\sigma }}\ast g$$

RMSProp

RMSProp：Root Mean Square Propagation 均方根传播
RMSProp在Adagrad的基础上，进一步在学习率的方向上优化
累计平方梯度：$$r\leftarrow \lambda r+(1-\lambda )g^2$$
权重更新:
$$w\leftarrow w-\frac{\eta }{\sqrt{r+\sigma }}\ast g$$
就是多了一个$\lambda$衰减系数

Adam

缝合怪，缝合了上述所有优化器
1、梯度方面增加momentum, 使用累计梯度：$$v\leftarrow \alpha v+(1-\alpha )g$$
2、同RMSProp优化算法一样，对学习率进行优化，使用累计平方梯度：
$$r\leftarrow \lambda r+(1-\lambda )g^2$$
3、偏差纠正
$$\hat{v}=\frac{v}{1-{\alpha }^t},r=\frac{r}{1-{\lambda }^t}$$

Adam 的偏差纠正就是通过 $\hat{m},\hat{t}$ 把指数加权平均在初期“偏小”的问题修正掉，从而保证优化器在早期能稳定、合理地更新参数。
初始v=0,r=0