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核心原理分析

1. 寻找全局最低点

要将曲线平移到原点，首先需要确定曲线的最低点。对于由多段圆弧组成的曲线，最低点可能出现在以下位置：

• 某个圆弧段的起点或终点
• 某个圆弧段的最低点（当圆弧包含该点时）

对于每个圆弧段，需要判断其是否包含最低点，这取决于圆弧的方向和覆盖的角度范围。

2. 计算平移向量

一旦找到全局最低点 $(mi{n}_x,mi{n}_y)$，平移向量即为 $(-mi{n}_x,-mi{n}_y)$，将该向量应用到曲线的所有点上，即可将最低点移动到原点。

3. 应用平移

对每个圆弧段的起点、终点和圆心应用平移向量，更新它们的坐标。

公式推导

圆弧最低点判断

对于一个圆弧段，圆心为 $C(C_x,C_y)$，半径为 $r$，起点为$S(S_x,S_y)$，终点为 $E(E_x,E_y)$。

1. 计算角度范围：
   • 起点和终点相对于圆心的角度：
     $${\theta }_S=\arctan 2(S_y-C_y,S_x-C_x)$$

$${\theta }_E=\arctan 2(E_y-C_y,E_x-C_x)$$

• 通过叉积判断圆弧方向（逆时针或顺时针）：
  $$\text{cross}=(S_x-C_x)(E_y-C_y)-(S_y-C_y)(E_x-C_x)$$
  若 $\text{cross}>0$，则为逆时针方向；否则为顺时针方向。

2. 判断270度是否在角度范围内：

   • 对于逆时针圆弧：
     • 若 ${\theta }_S\le {\theta }_E$，范围为 $[{\theta }_S,{\theta }_E]$
     • 否则，范围为 $[{\theta }_S,{\theta }_E+2\pi ]$
   • 对于顺时针圆弧：
     • 若 ${\theta }_S\ge {\theta }_E$，范围为 $[{\theta }_E,{\theta }_S]$
     • 否则，范围为 $[{\theta }_E,{\theta }_S+2\pi ]$
   • 检查 $3\pi /2$（270度）是否在上述范围内。

3. 确定最低点：

   • 若270度在范围内，最低点为圆心下方的点 $(C_x,C_y-r)$
   • 否则，最低点为起点或终点中y坐标较小的那个。

平移向量计算

找到全局最低点 $(mi{n}_x,mi{n}_y)$ 后，平移向量为：
$$\text{translation}=(-mi{n}_x,-mi{n}_y,0)$$

完整代码实现

#include <vector>
#include <gp_Pnt.hxx>
#include <gp_Vec.hxx>
#include <cmath>
#include <limits>struct ArcSegment {gp_Pnt start;gp_Dir startTangent;gp_Pnt end;gp_Dir endTangent;gp_Pnt center;double radius;
};// 查找所有圆弧段中的全局最低点
gp_Pnt findGlobalLowestPoint(const std::vector<ArcSegment>& arcs) {double min_y = std::numeric_limits<double>::max();gp_Pnt lowest_point;for (const auto& arc : arcs) {// 处理直线段（半径接近0的情况）if (arc.radius < 1e-6) {const gp_Pnt& candidate = (arc.start.Y() < arc.end.Y()) ? arc.start : arc.end;if (candidate.Y() < min_y) {min_y = candidate.Y();lowest_point = candidate;}continue;}// 提取圆弧几何参数const double Cx = arc.center.X();const double Cy = arc.center.Y();const double r = arc.radius;const double Sy = arc.start.Y();const double Ey = arc.end.Y();// 计算起点和终点相对于圆心的角度（弧度）const double theta_S = atan2(arc.start.Y() - Cy, arc.start.X() - Cx);const double theta_E = atan2(arc.end.Y() - Cy, arc.end.X() - Cx);// 通过叉积判断圆弧方向（逆时针/顺时针）const double cross = (arc.start.X() - Cx) * (arc.end.Y() - Cy) - (arc.start.Y() - Cy) * (arc.end.X() - Cx);const bool is_ccw = (cross > 0);  // 逆时针方向// 标准化角度到[0, 2π)double theta_start = fmod(theta_S + 2*M_PI, 2*M_PI);double theta_end = fmod(theta_E + 2*M_PI, 2*M_PI);const double theta_270 = 3*M_PI/2;  // 270度对应弧度// 判断圆弧是否包含最低点（圆心正下方）bool contains_270 = false;if (is_ccw) {if (theta_start <= theta_end) {contains_270 = (theta_start <= theta_270) && (theta_270 <= theta_end);} else {contains_270 = (theta_270 >= theta_start) || (theta_270 <= theta_end);}} else {if (theta_start >= theta_end) {contains_270 = (theta_end <= theta_270) && (theta_270 <= theta_start);} else {contains_270 = (theta_270 >= theta_start) || (theta_270 <= theta_end);}}// 确定本段最低点double current_min_y = std::min(Sy, Ey);gp_Pnt current_lowest = (Sy < Ey) ? arc.start : arc.end;// 如果包含圆心正下方点则参与比较if (contains_270) {const double cy_low = Cy - r;if (cy_low < current_min_y) {current_min_y = cy_low;current_lowest = gp_Pnt(Cx, cy_low, 0.0);}}// 更新全局最低点if (current_min_y < min_y) {min_y = current_min_y;lowest_point = current_lowest;}}return lowest_point;
}// 平移所有圆弧段使最低点位于原点
std::vector<ArcSegment> translateArcsToOrigin(const std::vector<ArcSegment>& arcs) {// 找到全局最低点const gp_Pnt lowest = findGlobalLowestPoint(arcs);// 计算平移向量const gp_Vec translation(-lowest.X(), -lowest.Y(), 0);// 平移所有圆弧几何元素std::vector<ArcSegment> translated;for (const auto& arc : arcs) {ArcSegment newArc = arc;// 平移起点newArc.start.Translate(translation);// 平移终点newArc.end.Translate(translation);// 平移圆心newArc.center.Translate(translation);translated.push_back(newArc);}return translated;
}/* 使用示例
int main() {std::vector<ArcSegment> inputArcs; // 输入的多段圆弧数据std::vector<ArcSegment> outputArcs = translateArcsToOrigin(inputArcs);// outputArcs中的圆弧最低点已位于坐标原点return 0;
}
*/

代码说明

1. 寻找全局最低点：

   • 遍历每个圆弧段，计算其可能的最低点，包括起点、终点和圆心下方的点（如果圆弧包含该点）。
   • 比较所有圆弧段的最低点，找到全局最低点。

2. 计算平移向量：

   • 根据全局最低点的坐标，计算将该点移动到原点所需的平移向量。

3. 应用平移：

   • 对每个圆弧段的起点、终点和圆心应用平移向量，更新它们的坐标。

该实现确保了多段圆弧构成的连续曲线能够准确地平移到原点，同时保留了曲线的几何特性和连续性。