数据结构（HS）

树

一些概念说明：

Complete Binary tree --> 最后一层的结点需要从最左边开始填充
$h=\lfloor {\log }_{2}n\rfloor$

Perfect Binary tree --> 最后一层的结点需要全部填满
$h=lo{g}_2(n+1)-1$

Balanced binary tree --> 任意一个结点的左孩子和右孩子的高度差不能超过k，k经常取值为1

为什么要计算h，因为很多操作的复杂度和高度成正比

我们规定空树的高度为 -1

二叉树的实现方式

1. 使用链表
2. 使用数组（完全二叉树时，左孩子的下标是$2i+1$,右孩子的下标是$2i+2$）

二叉搜索树（BST）

查找，插入，删除的时间复杂度都是$O(logn)$

什么是二叉搜索树？

左孩子的值小于等于根结点，右孩子的值大于根结点

下面给出一个最基础的二叉搜索树

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>typedef struct node{int data;struct node *left;struct node *right;
}node;node *insert(node *root, int data){if(root == NULL){root = (node*)malloc(sizeof(node));root->data = data;root->left = NULL;root->right = NULL;}else if(data <= root->data){root->left = insert(root->left, data);}else{root->right = insert(root->right, data);}return root;
}int search(node *root, int data){if(root == NULL){return 0;}else if(data == root->data){return 1;}else if(data <= root->data){return search(root->left, data);}else{return search(root->right, data);}
}int main(){node *root = NULL;root = insert(root, 50);root = insert(root, 30);root = insert(root, 20);root = insert(root, 40);printf("Search 30: %d\n", search(root, 30));printf("Search 60: %d\n", search(root, 60));return 0;
}

Find height od a binary tree

高度的定义：该结点当叶子结点最长路径中边的数量

Height of tree = Height of root

Height of tree with 1 node = 0

深度的定义：该结点到根结点的路径中边的数量

int findHeight(node *root){if(root == NULL) return -1;int leftHeight = findHeight(root->left);int rightHeight = findHeight(root->right);return (leftHeight > rightHeight)? (leftHeight + 1) : (rightHeight + 1);}

Binary Tree Traversal

• Breadth -first
• Depth-first
  • root-left-right 前序遍历
  • left-root-right 中序遍历
  • left-right-root 后序遍历

注：如果中序遍历用于二叉搜索树，那么打印出来的数据会是排序好的

层序遍历，使用队列可以实现，时间复杂度$O(n)$,空间复杂度$O(n)$

void levelOrder(Tnode *root){if(root == NULL) return;Lnode *queue = (Lnode*)malloc(sizeof(Lnode));push(queue, root);while(!isEmpty(queue)){Tnode *temp = pop(queue);if(temp == NULL) break;printf("%d ",temp->data);if(temp->left != NULL) push(queue, temp->left);if(temp->right != NULL) push(queue, temp->right);free(temp);}}

深度优先（这个的空间复杂度取决于树的高度$O(h)$）,这里的空间复杂度指的是栈空间，时间复杂度$O(n)$

void inOrder(Tnode *root){if(root == NULL) return;inOrder(root->left);printf("%d ",root->data);inOrder(root->right);}

删除结点

1. 删除叶子结点，直接删除就好
2. 只有一个孩子结点的情况：直接让该结点的父亲连接到该结点的孩子
3. 当删除的结点有两个孩子的时候
   1. 将该结点的值改成左子树的最大值，然后去删这个最大值
   2. 将该结点的值改成右子树的最小值，然后去删这个最小值
   3. 上面两种情况二选一

Tnode* delete_Tnode(Tnode* root, int data){if(root == NULL) return NULL;if(data < root->data) root->left = delete_Tnode(root->left, data);else if(data > root->data) root->right = delete_Tnode(root->right, data);else{// in here we have found the node to be deleted//case 1 : no chileif(root->left == NULL && root->right == NULL){free(root);root = NULL;}//case 2 : one childelse if(root->left == NULL){Tnode* temp = root;root = root->right;free(temp);}else if(root->right == NULL){Tnode* temp = root;root = root->left;free(temp);}//case 3 : two childrenelse{// find the max value in the left subtree and replace the node's value with itroot->data = find_max(root->left);root = delete_Tnode(root->left, root->data);}}return root;
}