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Problem: 2349. 设计数字容器系统

整体思路

这个 NumberContainers 类的设计目标是实现一个特殊的数据容器，它需要支持两种核心操作：

1. change(index, number)：在指定的 index 处放置一个 number。这个操作可能会覆盖该索引上原有的数字。
2. find(number)：找出存储着特定 number 的所有索引中，最小的那个索引。

为了高效地实现这两个操作，该类巧妙地使用了两种 HashMap 结合一种 TreeSet 的数据结构组合。

1. 数据结构的选择与职责：

   • Map<Integer, Integer> indexToValue: 这个 HashMap 负责直接映射。它的键是 index，值是在该索引处存储的 number。
     • 职责：提供 O(1) 平均时间复杂度的能力来查询任意 index 上的值。这在 change 操作中用于查找需要被替换的旧值。
   • Map<Integer, TreeSet<Integer>> valueToIndices: 这是整个设计的核心。它是一个嵌套的数据结构。
     • 外层 HashMap：键是 number，值是一个 TreeSet。它负责将一个数字与所有存储它的索引关联起来。
     • 内层 TreeSet：TreeSet 是一个基于红黑树实现的、自动保持元素有序的集合。
     • 职责：
       1. 高效地存储一个数字出现的所有索引。
       2. 自动对这些索引进行升序排序。
       3. 提供 O(log N) 时间复杂度的 add 和 remove 操作。
       4. 提供 O(1) 时间复杂度的 first() 操作，以快速获取最小的索引，这正是 find 操作所需要的。

2. change(index, number) 操作的逻辑：

   • 处理旧值：首先，需要检查 index 处之前是否已经有值。通过 indexToValue.get(index) 查询。
     • 如果存在一个 oldValue，就必须从 valueToIndices 中 oldValue 对应的 TreeSet 里移除 index。这是为了保持数据的一致性，因为 index 处的值即将改变。
   • 更新新值：
     • 在 indexToValue 中，更新或插入 (index, number) 的映射。
     • 在 valueToIndices 中，首先要找到 number 对应的 TreeSet。
       • computeIfAbsent(number, k -> new TreeSet<>()) 是一个优雅的写法：如果 number 的 TreeSet 不存在，就创建一个新的；如果存在，就返回现有的。
       • 然后，将 index 添加到这个 TreeSet 中。TreeSet 会自动将其放在正确的位置以维持排序。

3. find(number) 操作的逻辑：

   • 查找索引集合：直接从 valueToIndices 中获取 number 对应的 TreeSet。
   • 处理不存在的情况：如果获取到的 TreeSet 是 null（表示这个 number 从未被存储过）或者 isEmpty()（表示这个 number 曾经存在但现在所有位置都被替换了），则根据题目要求返回 -1。
   • 返回最小索引：如果 TreeSet 存在且不为空，调用其 first() 方法。由于 TreeSet 是有序的，first() 能在 O(1) 时间内返回其中最小的元素，即最小的索引。

完整代码

import java.util.HashMap;
import java.util.Map;
import java.util.TreeSet;class NumberContainers {// 映射1：索引 → 当前存储的数字。// 提供 O(1) 时间复杂度的索引值查询。private final Map<Integer, Integer> indexToValue = new HashMap<>();// 映射2：数字 → 所有包含该数字的索引集合（使用 TreeSet 自动升序排列）。// Key: number, Value: a sorted set of indices where this number is located.private final Map<Integer, TreeSet<Integer>> valueToIndices = new HashMap<>();public NumberContainers() {// 构造函数，此处无需特殊初始化}/*** 在指定索引处更改或放置一个数字。* @param index  要操作的索引* @param number 要放置的数字*/public void change(int index, int number) {// 步骤 1: 处理可能存在的旧值// 从 indexToValue 中查找该索引之前存储的值Integer oldValue = indexToValue.get(index);if (oldValue != null) {// 如果存在旧值，则必须从旧值对应的索引集合中移除当前索引valueToIndices.get(oldValue).remove(index);}// 步骤 2: 更新两个映射以反映新值// 更新 index -> number 的映射indexToValue.put(index, number);// 更新 number -> {..., index, ...} 的映射// computeIfAbsent: 如果 number 还没有对应的 TreeSet，则创建一个新的// .add(index): 将当前索引添加到该 TreeSet 中，它会自动保持排序valueToIndices.computeIfAbsent(number, k -> new TreeSet<>()).add(index);}/*** 查找存储指定数字的最小索引。* @param number 要查找的数字* @return 最小的索引；如果该数字不存在，则返回 -1。*/public int find(int number) {// 从 valueToIndices 中获取该数字对应的所有索引TreeSet<Integer> indices = valueToIndices.get(number);// 检查两种“不存在”的情况：// 1. 该数字从未被 change 过 (indices == null)// 2. 该数字曾经存在，但所有位置都已被其他数字覆盖 (indices.isEmpty())if (indices == null || indices.isEmpty()) {return -1;} else {// TreeSet.first() 可以在 O(1) 时间内返回集合中最小的元素return indices.first();}}
}/*** Your NumberContainers object will be instantiated and called as such:* NumberContainers obj = new NumberContainers();* obj.change(index,number);* int param_2 = obj.find(number);*/

时空复杂度

• 设 N 为 change 操作的总调用次数。
• 设 M 为 find 操作的总调用次数。
• 在任意时刻，设某个数字 k 对应的索引数量为 C_k。

时间复杂度

1. change(index, number)：

   • indexToValue.get(index): O(1) 平均。
   • valueToIndices.get(oldValue): O(1) 平均。
   • TreeSet.remove(index): O(log C_{oldValue})。C_{oldValue} 是旧值对应的索引数。
   • indexToValue.put(index, number): O(1) 平均。
   • valueToIndices.computeIfAbsent(number, ...): O(1) 平均。
   • TreeSet.add(index): O(log C_{number})。C_{number} 是新值对应的索引数。
   • 综合：change 操作的时间复杂度主要由 TreeSet 的操作决定，为 O(log K)，其中 K 是与操作相关的数字（oldValue 或 number）出现的次数。

2. find(number)：

   • valueToIndices.get(number): O(1) 平均。
   • TreeSet.isEmpty(): O(1)。
   • TreeSet.first(): O(1)。
   • 综合：find 操作的时间复杂度为 O(1) 平均。

空间复杂度

1. 主要存储开销：由两个 Map 决定。
2. indexToValue: 存储了所有被 change 操作接触过的唯一 index。如果 change 操作涉及 U 个不同的索引，则其空间为 O(U)。
3. valueToIndices:
   • 外层 Map 的键是所有出现过的唯一 number。
   • 内层的 TreeSet 存储了这些 number 对应的所有 index。
   • 所有 TreeSet 中元素的总数，等于 indexToValue 中元素的总数，即 U。
   • 因此，valueToIndices 的总空间复杂度也是 O(U)。

综合分析：
类的总空间复杂度为 O(U)，其中 U 是被 change 操作触及过的唯一索引的总数。