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2025.3.22

Problem - C - Codeforces

C. XOR and Triangle（位掩码）

请判断是否存在满足以下条件的正整数 y。

• y 严格小于 x 。
• 存在一个边长为 x ， y ， $$x\oplus y$$ 的非退化三角形 。这里， $\oplus$ 表示 bitwise XOR 运算。

此外，如果存在这样一个整数 y ，则输出任意一个。

思路

三角形：最小两边之和大于第三边

由于y<x,所以此题只需保证：

y+$x\oplus y$ > x

$x+y$ > $x\oplus y$

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行文至此，不得不提一下zx的至理名言

异或是不进位加法

所以一般情况下，$x+y$大于$x\oplus y$。

• $x+y=x\oplus y+2(x\&y)$

这就是位屏蔽的神奇。

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• x+y>x⊕y ， (x⊕y)+2(x&y)>x⊕y ， x&y>0 ;
• y+(x⊕y)>x ， y+(x+y)−2(x&y)>x ， y>x&y 。

1. $y$包含至少一个在$x$中打开的位
   这意味着$y$至少有一个位与$x$的某一位相同，即$y\&x\ne 0$。
2. $y$至少包含一个在$x$中未开启的位
   这意味着$y$至少有一个位是$x$中没有的，即$y\&\neg x\ne 0$，其中$\neg x$表示x的按位非。

寻找满足条件的最小$y$
为了找到满足上述条件的最小的$y$，我们可以考虑只有两个位被打开的情况，一个在$x$中，另一个不在。这样，我们只需要检查所有可能的两位组合，这是一个$\mathcal{O}({\log }^{2}x)$的时间复杂度，因为x的位长度是${\log }_{2}x$。

void solve()
{int x,ans=-1;cin>>x;fir(i,0,30)fir(j,0,30){int p=(1<<i)|(1<<j);if((p<x)&&((x&p)!=0)&&((p&(~x))!=0))ans=p;}cout<<ans<<'\n';
}

注意：运算符的优先级

x / %

±

<< >>

< <= > >=

== !=

&

^

|

&&

||

?:

+= = /= 等赋值运算符