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轨道平面系与轨道姿态系

news 2025/10/25 11:00:54

轨道平面系与轨道姿态系

在航天任务中，精确的坐标系定义是姿态确定、轨道控制和任务规划的基础。其中，轨道平面系和轨道姿态系是两个核心但易混淆的概念。本文将深入探讨这两种坐标系的定义、特性、用途及相互转换关系。

1. 基本概念

1.1 轨道平面系

轨道平面系是一个与轨道平面固连的坐标系，其定义完全基于轨道的几何特性，与航天器在轨道上的具体位置无关。它描述了轨道平面在惯性空间中的固定取向。

1.2 轨道姿态系

轨道姿态系（最常见的是LVLH系）是一个与航天器本体固连但基准轴随轨道运动而变化的坐标系。它描述了航天器相对于当地天地关系的瞬时姿态。

2. 坐标系定义

2.1 轨道平面系

轨道平面系 $F_o$ 的定义如下：

原点：地心（对于地心轨道）
$Z_o$ 轴：沿轨道角动量矢量方向，垂直于轨道平面向上
$Zo=r×v∣r×v∣\mathbf{Z}_o = \frac{\mathbf{r} \times \mathbf{v}}{|\mathbf{r} \times \mathbf{v}|}$
$X_o$ 轴：在轨道平面内，指向升交点方向
$Y_o$ 轴：在轨道平面内，完成右手坐标系
$Yo=Zo×Xo\mathbf{Y}_o = \mathbf{Z}_o \times \mathbf{X}_o$

2.2 轨道姿态系（LVLH系）

LVLH系 $F_b$ 的定义如下：

原点：航天器质心
$Z_b$ 轴：Local Vertical，从航天器指向地心（径向矢量，通常定义向下为正）
$Zb=−r∣r∣\mathbf{Z}_b = -\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|}$
$Y_b$ 轴：Orbit Normal，与轨道角动量方向相反（负法向）
$Yb=−r×v∣r×v∣\mathbf{Y}_b = -\frac{\mathbf{r} \times \mathbf{v}}{|\mathbf{r} \times \mathbf{v}|}$
$X_b$ 轴：Local Horizontal，在轨道平面内完成右手系，近似指向速度方向
$Xb=Yb×Zb\mathbf{X}_b = \mathbf{Y}_b \times \mathbf{Z}_b$

3. 特性对比

特性	轨道平面系	轨道姿态系（LVLH）
原点	地心	航天器质心
$Z$ 轴	轨道角动量方向（法向）	指向地心（径向）
$X$ 轴	指向升交点	沿速度方向（切向）
基准面	轨道平面	当地水平面
是否惯性系	是（无摄动下）	否
是否时变	否（轨道根数不变下）	是（连续旋转）
主要用途	轨道确定、轨道预报	姿态控制、对地观测

4. 数学表达与获取方式

4.1 从瞬时轨道根数获取轨道平面系

通过经典的3-1-3欧拉角旋转，可以从惯性系得到轨道平面系：

$Roi=Rz(u)⋅Rx(i)⋅Rz(Ω)\mathbf{R}_{oi} = \mathbf{R}_z(u) \cdot \mathbf{R}_x(i) \cdot \mathbf{R}_z(\Omega)$

其中：

$Ω\Omega$ ：升交点赤经
$i$ ：轨道倾角
$\omega + \nu$ ：纬度幅角（近地点幅角 + 真近点角）

对应的旋转矩阵为：

$Roi=[cos⁡ucos⁡Ω−sin⁡ucos⁡isin⁡Ωcos⁡usin⁡Ω+sin⁡ucos⁡icos⁡Ωsin⁡usin⁡i−sin⁡ucos⁡Ω−cos⁡ucos⁡isin⁡Ω−sin⁡usin⁡Ω+cos⁡ucos⁡icos⁡Ωcos⁡usin⁡isin⁡isin⁡Ω−sin⁡icos⁡Ωcos⁡i]\mathbf{R}_{oi} = \begin{bmatrix} \cos u \cos \Omega - \sin u \cos i \sin \Omega & \cos u \sin \Omega + \sin u \cos i \cos \Omega & \sin u \sin i \\ -\sin u \cos \Omega - \cos u \cos i \sin \Omega & -\sin u \sin \Omega + \cos u \cos i \cos \Omega & \cos u \sin i \\ \sin i \sin \Omega & -\sin i \cos \Omega & \cos i \end{bmatrix}$

4.2 从位置速度矢量直接获取LVLH系

对于轨道姿态系，可以直接从航天器的位置矢量 $r\mathbf{r}$ 和速度矢量 $v\mathbf{v}$ 计算：

$Zb=−r∣r∣Yb=−r×v∣r×v∣Xb=Yb×Zb\begin{aligned} \mathbf{Z}_b &= -\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|} \\ \mathbf{Y}_b &= -\frac{\mathbf{r} \times \mathbf{v}}{|\mathbf{r} \times \mathbf{v}|} \\ \mathbf{X}_b &= \mathbf{Y}_b \times \mathbf{Z}_b \end{aligned}$

相应的旋转矩阵为：

$Rbi=[XbYbZb]T\mathbf{R}_{bi} = \begin{bmatrix} \mathbf{X}_b & \mathbf{Y}_b & \mathbf{Z}_b \end{bmatrix}^T$

5. 坐标系转换

5.1 从轨道平面系到轨道姿态系

两者之间的转换关系可以通过固定旋转矩阵描述。从轨道平面系到LVLH系的转换为：

$Rbo=Rbi⋅RoiT\mathbf{R}_{bo} = \mathbf{R}_{bi} \cdot \mathbf{R}_{oi}^T$

其中 $Rbo\mathbf{R}_{bo}$ 可以分解为绕轨道法向的旋转：

$Rbo=Rz(θ)⋅Rx(π2)\mathbf{R}_{bo} = \mathbf{R}_z(\theta) \cdot \mathbf{R}_x\left(\frac{\pi}{2}\right)$

具体转换矩阵通常形式为：

$Mo2b=[010001100]或[01000−1−100]\mathbf{M}_{o2b} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \quad \text{或} \quad \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$