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文章1中的无阻尼系统是一种理想化的系统，实际应用中的振动系统总是受到阻尼影响。本文采用线性阻尼元件描述阻尼作用。

1. 振动方程的解

根据文章1中的式(1.4)，可知有阻尼单自由度系统的振动方程为：
$$m\ddot{u}(t)+c\dot{u}(t)+ku(t)=0(4.1)$$

初始条件：
$$u(0)=u_0,\dot{u}(0)={\dot{u}}_0(4.1^{\prime })$$

根据常微分方程理论，上述控制方程的解具有如下形式：
$$u(t)=\bar{u}{\mathrm{e}}^{st}$$

代入式(4.1)，得到特征方程：
$$m{s}^2+cs+k=0$$

可解得特征根：
$$s_{1,2}=-\frac{c}{2m}\pm \sqrt{{\left(\frac{c}{2m}\right)}^2-\frac{k}{m}}(4.4)$$

为方便分析，引入一个无量纲量$\xi$，称为阻尼比：
$$\xi =\frac{c}{2m}/\sqrt{\frac{k}{m}}=\frac{c}{2m{\omega }_{\mathrm{n}}}=\frac{c}{c_c}$$

式中，${\omega }_{\mathrm{n}}$是文章1中引入的固有圆频率。$c_c$称为临界阻尼系数，$c_c=2m{\omega }_{\mathrm{n}}$。于是式(4.4)进一步写为：
$$s_{1,2}=-\xi {\omega }_{\mathrm{n}}\pm {\omega }_{\mathrm{n}}\sqrt{{\xi }^2-1}(4.6)$$

显然根据根式内${\xi }^2-1$的取值情况，式(4.6)将给出不同的根，可为实数根或复数根，需要分别讨论过阻尼、临界阻尼、欠阻尼，这三种情况。

2. 过阻尼

当$\xi >1$，式(4.6)是一对互异的实数根，此时振动方程(4.1)的通解为：
$$u(t)=a_1{\mathrm{e}}^{(-\xi +\sqrt{{\xi }^2-1}){\omega }_{\mathrm{n}}t}+a_2{\mathrm{e}}^{(-\xi -\sqrt{{\xi }^2-1}){\omega }_{\mathrm{n}}t}(4.7)$$

式中，$a_1,a_2$由初始条件确定。根据初始条件(4.1’)，可解得式(4.7)在$t=0$时，常数为：
$$a_1=\frac{{\dot{u}}_0+(\xi +\sqrt{{\xi }^2-1}){\omega }_{\mathrm{n}}{u}_0}{2{\omega }_{\mathrm{n}}\sqrt{{\xi }^2-1}},a_2=\frac{-{\dot{u}}_0-(\xi -\sqrt{{\xi }^2-1}){\omega }_{\mathrm{n}}{u}_0}{2{\omega }_{\mathrm{n}}\sqrt{{\xi }^2-1}}$$

将常数$a_1,a_2$代入式(4.7)即得到过阻尼情况时的振动位移函数。图1是过阻尼条件下（取$\xi =1.1$）的一个典型时间历程，运动规律按指数衰减（虚线为指数函数${\mathrm{e}}^{s_{1}t}$的曲线），没有振荡特性。

图1 过阻尼（$\xi =1.1$）情况下的位移时间历程（自由衰减运动）

3. 临界阻尼

继续第2节的讨论，临界阻尼情况下$\xi =1$，此时式(4.6)为两个相同的实根：
$$s_{1,2}=-{\omega }_{\mathrm{n}}(4.9)$$

于是通解为：
$$u(t)=(a_1+a_{2}t){\mathrm{e}}^{-{\omega }_{\mathrm{n}}t}(4.10)$$

根据初始条件(4.1’)，可解得式(4.10)在$t=0$时，常数为：
$$a_1=u_0,a_2={\dot{u}}_0+{\omega }_{\mathrm{n}}{u}_0$$

将$a_1,a_2$代回式(4.10)，得到临界阻尼情况下的位移函数。这种运动也按指数规律衰减，没有振荡特征，如图2所示，实现是一个典型的位移时间历程曲线。

图2 临界阻尼（$\xi =1$）情况下的位移时间历程（自由衰减运动）

4. 欠阻尼

在实际应用中，欠阻尼振动是一种普遍情况。此时$0<\xi <1$（一般$\xi <0.2$），特征根是一对共轭复数根，式(4.6)为：
$$s_{1,2}=-\xi {\omega }_{\mathrm{n}}\pm \mathrm{j}{\omega }_{\mathrm{n}}\sqrt{1-{\xi }^2}(4.12)$$

振动方程式(4.1)的通解为：
$$u(t)={\mathrm{e}}^{-\xi {\omega }_{\mathrm{n}}t}\left[a_1\cos ({\omega }_{\mathrm{d}}t)+a_2\sin ({\omega }_{\mathrm{d}}t)\right](4.13)$$

式中：
$${\omega }_{\mathrm{d}}={\omega }_{\mathrm{n}}\sqrt{1-{\xi }^2}(4.13^{\prime })$$

称为振动系统的阻尼振动频率。显然，${\omega }_{\mathrm{d}}<{\omega }_{\mathrm{n}}$。

根据初始条件(4.1’)，可解得式(4.13)在$t=0$时，常数为：
$$a_1=u_0,a_2=\frac{{\dot{u}}_0+\xi {\omega }_{\mathrm{n}}{u}_0}{{\omega }_{\mathrm{d}}}$$

将$a_1,a_2$代回式(4.13)，得到欠阻尼情况下的位移函数。这里将其完整形式写出来：
$$u(t)={\mathrm{e}}^{-\xi {\omega }_{\mathrm{n}}t}\left[u_0\cos ({\omega }_{\mathrm{d}}t)+\frac{{\dot{u}}_0+\xi {\omega }_{\mathrm{n}}{u}_0}{{\omega }_{\mathrm{d}}}\sin ({\omega }_{\mathrm{d}}t)\right]=U(t)u_0+V(t){\dot{u}}_0(4.16)$$

式中，$U(t)$和$V(t)$分别定义为单位初始位移和单位初速度引起的自由振动位移。

根据三角变化，式(4.16)还可写为：
$$u(t)=a{\mathrm{e}}^{-\xi {\omega }_{\mathrm{n}}t}\sin ({\omega }_{\mathrm{n}}t+\phi )(4.18)$$

式中，振幅$a$和初相位$\phi$为：
$$a=\sqrt{u_0^2+{\left(\frac{{\dot{u}}_0+\xi {\omega }_{\mathrm{n}}{u}_0}{{\omega }_{\mathrm{d}}}\right)}^2},\phi =\arctan \frac{{\omega }_{\mathrm{d}}{u}_0}{{\dot{u}}_0+\xi {\omega }_{\mathrm{n}}{u}_0}(4.19)$$

图3是一个典型的欠阻尼情况位移时程曲线，位移在系统平衡位置附近往复振动，但是振幅不断衰减（不属于周期振动）。实际的振动系统，一般$\xi <0.2$。

图3 欠阻尼振动（$\xi =0.1$）位移时程曲线

5. 振动的特性

我们在实际应用中的阻尼振动，大多是指欠阻尼振动。阻尼振动的特性如下：
（1）阻尼系统的自由振动振幅按照指数规律${\mathrm{e}}^{-\xi {\omega }_{\mathrm{n}}t}$衰减。
（2）等时性：阻尼振动的自由振动式非周期运动，但是其相邻两次沿同一方向经过平衡位置的时间间隔（可从图3中观察这种间隔）均为：
$$T_{\mathrm{d}}=\frac{2\pi }{{\omega }_{\mathrm{d}}}=\frac{2\pi }{{\omega }_{\mathrm{n}}\sqrt{1-{\xi }^2}}=\frac{T_{\mathrm{n}}}{\sqrt{1-{\xi }^2}}(4.20)$$

式中，$T_{\mathrm{d}}$称为阻尼振动周期或自然周期，文章1中引入的固有周期 $T_{\mathrm{n}}=2\pi /{\omega }_{\mathrm{n}}$。显然，由于$\xi <1$，$T_{\mathrm{d}}>T_{\mathrm{n}}$。
（3）当阻尼比$\xi$非常小时，阻尼振动周期$T_{\mathrm{d}}$（或阻尼振动频率${\omega }_{\mathrm{d}}$）与固有周期$T_{\mathrm{n}}$（或固有频率${\omega }_{\mathrm{n}}$）差别很小。
（4）引入振幅对数衰减率$\delta$来描述振幅衰减快慢，定义为经过一个阻尼振动周期$T_{\mathrm{d}}$的相邻两个振幅之比的自然对数：
$$\delta =\ln \frac{{\mathrm{e}}^{-\xi {\omega }_{\mathrm{n}}t}}{{\mathrm{e}}^{-\xi {\omega }_{\mathrm{n}}(t+T_{\mathrm{d}})}}=\xi {\omega }_{\mathrm{n}}{T}_{\mathrm{d}}$$

从式(4.20)可知，${\omega }_{\mathrm{n}}{T}_{\mathrm{d}}=2\pi /\sqrt{1-{\xi }^2}$。于是，可知$\delta$可由$\xi$表达，即$\delta$完全取决于$\xi$。图5展示了$\xi$-$\delta$曲线，且虚线为阻尼比$\xi$非常小时的情况，可简化为$\delta =2\pi \xi$。当$\xi >0.4$时，这种近似的误差就比较大了。

图5 振幅对数衰减率和阻尼比的关系（$\xi$-$\delta$曲线）

参考资料

文章1：振动力学：无阻尼单自由度系统
胡海岩. 机械振动基础. 北京航空航天大学出版社. 2005