【11408学习记录】考研数学高频考点精讲：古典概型+几何概型解题框架

数学

概率论与数理统计

古典概型

概念
如果随机试验的样本空间满足：

1. 只有有限个样本点（基本事件）；
2. 每个样本点（基本事件）发生的可能性都一样，

则称随机试验的概率模型为古典概型.

如果古典概型的基本事件总数为 $n$ ，事件 $A$ 包含 $k$ 个基本事件，也叫作有利于 $A$ 的基本事件有 $k$ 个，则 $A$ 的概率为：

$$P(A)=\frac{k}{n}=\frac{事件A所含基本事件的个数}{基本事件总数}$$

由上式计算得出的概率称为 $A$ 的古典概率.

计算方法

1. 随机分配问题

随机分配也叫随机占位，突出一个“放”字，即将 $n$ 个可辩质点随机地分配到 $N$ 个盒子中，区分每盒可以容纳任意多个质点和最多可以容纳一个质点，不同的分法的总数如下所示：

• 每盒容纳任意多个质点：$N^n$
• 每盒容纳至多一个质点：$P_N^n=N(N-1)\cdots (N-n+1)$

2. 简单随机抽样问题

设 Ω={ω1,ω2,⋯,ωN}\Omega = \{\omega_1, \omega_2, \cdots, \omega_N\}Ω={ω1​,ω2​,⋯,ωN​} 含 $N$ 个元素，称 $\Omega$ 为总体，如果各元素被抽到的可能性相同，则总体 $\Omega$ 的抽样称作简单随机抽样，突出一个“取”字.

简单随机抽样分为先后有放回、先后无放回以及任取这三种不同的方式. 在每种抽样方式下各种不同抽取方法（基本事件）的总数如下所示：

• 先后有放回取 $n$ 次（样本空间始终无变化）：$N^n$
• 先后无放回取 $n$ 次：$P_N^n=N(N-1)\cdots (N-n+1)$
• 任取 $n$ 个：$C_N^n$

几何概型

如果随机试验的样本空间满足：

1. 样本空间（基本事件空间）$\Omega$ 是一个可度量的有界区域
2. 每个样本点（基本事件）发生的可能性都一样，即样本点落入 $\Omega$ 的某一可度量的子区域 $S$ 的可能性大小与 $S$ 的几何度量成正比，而与 $S$ 的位置及形状无关，则称随机试验的概率模型为几何概型.

可度量：即为可以度量，就是我们现在理解的长度、面积、体积.

英语

每日一句

Today, widespread social pressure to immediately go to college in conjunction with increasingly high expectations in a fast-moving world often causes students to completely overlook the possibility of taking a gap year.​(2017, Reading Comprehension, Part A Text 3)

词汇

widespread: adj. 普遍的，广泛的，分布广的
social pressure: 社会压力
in conjunction with: 连同……；与……协力
conjunction: n. 结合，联合，同时发生
in a fast-moving world: 在一个快速发展的世界
overlook the possibility of …… 忽略了……的可能性
overlook: v. 忽略；监督，检查；俯瞰
gap year: 间隔年

第一步：找谓语

Today, widespread social pressure to immediately go to college in conjunction with increasingly high expectations in a fast-moving world often causes students to completely overlook the possibility of taking a gap year.​

第二步：断句

原句只存在一处谓语，包含一件事，因此原句不需要断开；

第三步：简化

Today, widespread social pressure to immediately go to college in conjunction with increasingly high expectations in a fast-moving world often causes students to completely overlook the possibility of taking a gap year.​

• 主句主语部分：Today, widespread social pressure to immediately go to college in conjunction with increasingly high expectations in a fast-moving world often
  • 时间状语：today 修饰原句，说明原句发生的时间
  • 形容词：widespread 与形容词：social 共同修饰名词：pressure
  • 非谓语动词短语：to immediately go to college 为后置定语，修饰名词：pressure
  • 介词短语：in conjunction 为后置定语，修饰名词：college
  • 介词短语：with increasingly high expectations 修饰名词：pressure 表示伴随
  • 介词短语：in a fast-moving world often 为后置定语，修饰名词：expectations，表示地点
• 主句谓语部分：causes
• 主句谓语部分：students to completely overlook the possibility of taking a gap year.​
  • 名词：students 为谓语：causes 的宾语
  • 非谓语动词短语： to completely overlook the possibility 为名词：students 的补足语
  • 介词短语：of taking a gap year.​ 为名词：possibility 的后置定语

去掉原句扩展部分，就得到了原句的核心：

• …… pressure …… causes students to …… overlook …… possibility …… —— …… 压力……导致学生……忽视……可能性……​