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一、字符串匹配问题

字符串匹配问题可以描述为：给定字符串 $T,S$，在主串 $S$ 中寻找子串 $T$。我们称字符串 $T$ 为文本串，字符 $S$ 为模式串，长度分别为 $m,n$。如果用朴素的算法进行匹配，那么最坏情况下，比较的次数是两个字符串长度的相乘，即 $O(mn)$。

本节我们将介绍一种用于字符串匹配的算法，即 KMP 算法。该算法解决此问题的最坏比较次数是两个字符串长度的相加。如果我们要求的是字符串 $S$ 的所有后缀与字符串 $T$ 的最长公共前缀，那么我们就需要使用到扩展 KMP 算法（Z 函数），从名字就可以看出来二者在思想上有高度相关性。由于两者的高度相关性，接下来我们首先介绍 KMP 算法。

二、KMP 算法

1.基本介绍

在计算机科学中，KMP 算法可在一个文本串 $T$ 内查找一个模式串 $S$ 的出现位置。该算法通过对这个词在不匹配时本身包含的信息来确定下一个匹配将在哪里开始的发现，从而避免重新检查先前匹配的字符，提高程序运行效率。具体来说，KMP 算法在匹配前会预处理模式串 $S$，得到一个 $Next$ 数组。借助 $Next$ 数组，可以在匹配过程中减少很多冗余的匹配操作，由此提高了算法的效率。KMP 算法的时间复杂度为 $O(n+m)$，其中 $n$ 和 $m$ 分别表示两个串的长度。

2.匹配过程

KMP 算法的核心就是利用 $Next$ 数组来加快匹配，对于字符串 $s=s_0{s}_1\dots s_{n-1}$，如果 $j$ 是满足 $s_{0\dots j}=s_{i-j\dots i}$ 的最大值，则 $Nex{t}_i=j(j<i)$。如果不存在 $s_{0\dots j}=s_{i-j\dots i}$ 的情况，我们设 $Nex{t}_i=-1$。

假设我们已经求得了模式串 $S$ 的 $Next$ 数组，下面我们来看如何利用其求出字符串 $S,T$ 的匹配，以下面这张图为例子。

• 设文本串为 $T$，模式串为 $S$。若 $T_{i-j-1\dots i-1}=S_{0\dots j}$ 且 $T_i\ne S_{j+1}$。
• 现在我们假设存在 $j^{\prime }>Nex{t}_j$ 使得 $T_{i-j^{\prime }-1\dots i-1}=S_{0\dots j^{\prime }}$ 成立，也就是上图最后一条线的情况。那么我们不难得到 $S_{0\dots j^{\prime }}=S_{j-j^{\prime }\dots j}$，这意味着 $fai{l}_j\ge j^{\prime }$，这与 $j^{\prime }>Nex{t}_j$ 矛盾。
• 因此不存在 $j^{\prime }>Nex{t}_j$ 使得 $T_{i-j^{\prime }-1\dots i-1}=S_{0\dots j^{\prime }}$ 成立。所以我们可以直接从 $j$ 跳到 $Nex{t}_j$，因为图中的 $A,B$ 段相同，自然满足匹配条件。
• 重复这个过程直到与模式串的匹配完成即可。这就是我们利用 $Next$ 数组来加速匹配的原理。

核心代码如下所示：

void KMP()
{ll m = strlen(t), n = strlen(s);ll j = -1;for(ll i = 0; i < m; i++){while(j != -1 && s[j + 1] != t[i])j = Next[j];if(s[j + 1] == t[i]){j++;if(j == n - 1)ans[++count1] = i - n + 1;}}
}

3.求 $Next$ 数组

现在我们来考虑如何求得 $Next$ 数组，不难发现求 $Next$ 数组实际上就是求模式串和自己的匹配，因此我们可以用与上面同样的方法来求出 $Next$ 数组。因为 $j>Nex{t}_j$，所以我们总能用前面的 $Next$ 来更新后面的情况。

核心代码如下所示：

void Get_Next()
{ll n = strlen(s);Next[0] = -1;for(ll i = 1; i < n; i++){ll j = Next[i - 1];while(j != -1 && s[j + 1] != s[i])j = Next[j];if(s[j + 1] == s[i])j++;Next[i] = j;}
}

三、扩展 KMP 算法

四、作业

1.KMP 算法

（1）绿题

P3375 【模板】KMP

P4391 [BalticOI 2009] Radio Transmission 无线传输

CF1200E Compress Words

（2）蓝题

P4824 [USACO15FEB] Censoring S

P3435 [POI 2006] OKR-Periods of Words

P2375 [NOI2014] 动物园

2.扩展 KMP 算法