当前位置：首页 > news >正文

推导二项型事件的随机变量标准误差：两种方法

news 来源：原创 2025/5/18 4:47:12

二项型事件的标准误差公式是这样的： $\frac{1}{f(x_q)}\sqrt{q(1-q)/n}$ ，其中f为先验分布（根据中心极限定理为正态分布）的PDF。给定采样数据 $\hat{X}$ 和边界i，可以计算q值（采样数据中 $\hat{x}<i$ 的频率）和对应的 $x_q$ 值（CDF值为q时对应的x），然后用该公式得到随机变量X在x<i这件事上的标准误差。我们来看看这个公式怎么推导。

首先定义一下符号，二项型事件的一个典型是VaR，这里我们以VaR为例：设F是随机变量为收益值的CDF，所以我们有 $q=F(x_q)$ ， $x_q$ 是某个收益金额，q是收益小于这个金额的概率；n是采样数量。

先进行一些前置推导：

根据收益期望为0，则有：当 $x_q=0$ 时，收益小于q的概率服从 $N(0,nq(1-q))$ （收益应服从正态分布，方差根据二项分布求得）

那么，对于任意 $x_q$ ，则有收益小于q的概率服从 $N(q,nq(1-q))$

（此时我们知道概率服从的分布，能求概率的标准误差，但我们想求金额的标准误差，所以要求金额服从的分布——有人说金额的分布不就是先验的正态分布吗？不是啊，看看标题是啥，我们求的是二项型事件（在给定参数q下）的标准误差，不是整个先验分布的标准误差，这个你需要理解）

为了达到这个目标，我们可以构造一个这样的变量 $F(\hat{x_q})-q$ ，视q为常数，可以知道它服从 $N(0,nq(1-q))$

把n乘到左边，可以得到 $\sqrt{n}(F(\hat{x_q})-q) \sim N(0, q(1-q))$

然后进入推导的核心部分。先来第一种方法，即书上给的参考文献里的方法，它是基于delta方法的。dalta方法定义是这样的：

我们想求金额的分布，就要在式子里把 $\hat{x_q}$ 单独提出来。可以注意到，delta方法是把式子左边和式子右边的方差都套了一个g。那么我们只需用 $F^{-1}$ 作为g，就可以 $F(\hat{x_q})$ 外层的F脱掉，得到单独的 $\hat{x_q}$ 。

以 $F^{-1}$ 作为g应用delta方法，则有： $\sqrt{n}(\hat{x_q}-F^{-1}(q)) \sim N(0, [F^{-1'}(q)]^2q(1-q))$

现在我们把 $\hat{x_q}$ 挪到一边就行了，挪完之后是这样的 $\hat{x_q} \sim N(F^{-1}(q), [F^{-1'}(q)]^2nq(1-q))$

根据标准误差公式 $\sigma/\sqrt{n}$ ，可得 $\hat{x_q}$ 标准误差为 $F^{-1'}(q) \sqrt{q(1-q)/n}$ ，这里要注意，反函数的导数等于原函数导数的倒数，那么F是CDF，原函数就是PDF， $F^{-1'}(x)$ 则为 $1/f(x)$ ，证毕。

delta方法有点抽象，我们还有第二种方法。考虑泰勒展开： $F(\hat{x_q})=F(x_i)+F'(x_i)(\hat{x_q}-x_i)+o(\hat{x_q}-x_i)$

代入 $x_i=x_q$ ，因 $q=F(x_q)$ ，则有 $F(\hat{x_q})=q+F'(x_q)(\hat{x_q}-x_q)+o(\hat{x_q}-x_q)$

这个式子里有我们想要的 $\hat{x_q}$ ，我们想办法把它代换进入前置推导最后得到的那个式子，那个式子左边是 $F(\hat{x_q})-q$ ，所以对泰勒展开式，我也把它挪到一边，有 $F(\hat{x_q})-q=(\hat{x_q}-x_q)F'(x_q)$ （只考虑一阶）

代入得到 $\sqrt{n}((\hat{x_q}-x_q)F'(x_q)) \sim N(0, q(1-q))$ ，即为 $\hat{x_q}-x_q \sim N(0, nq(1-q)/F'(x_q)]^2)$ ，由于F'=f，标准误差 $\sigma/\sqrt{n}= \frac{1}{f(x_q)}\sqrt{q(1-q)/n}$ ，证毕。

这些推导看起来有点trick，所以我对泰勒展开这种方法提供一个我自己直观上的理解：

首先我们知道二项分布的标准误差是 $\sqrt{q(1-q)/n}$ ，量纲是概率。我们现在想要求原始随机变量X的标准误差（如对于VaR，量纲为金额）。如果我们从量纲变换的角度来思考，事实上是在找一个值给二项分布的标准误差“放缩”一下（和求期望的思想类似）。

那我们基于什么来放缩呢？先考虑CDF，CDF(x)返回的是收益比x少的概率（x是金额），那么它的导数PDF描述的就是，在当前这个点，再多挣一块钱的时候，（挣的钱不少于x+1的）概率（CDF值）会增加多少（如PDF值为0.0027，那意思是，在只考虑一阶近似的情况下，自该点多x+1块钱，概率增加0.0027），那么把自变量因变量反过来思考，如果在该点概率+1，需要多挣多少钱？——这种思考方式有点奇葩，概率最多就1，咋能+1呢？从概率论角度来理解，这个操作的意义是基于该点的一阶近似重新构造了一个总体。如下图所示：

而这个操作在数值上的意义就是，计算按在f(x)这点的趋势，概率+1的时候，需要挣多少钱——答案是1/0.0027=370.37，也就是公式中的1/f(x)。而对于f(x)中的任意一点，有对应的q，则 $\frac{1}{f(x)}\sqrt{q(1-q)/n}$ 这个乘法的意义即为：基于q构造的新总体的值域范围（x+370.37-x=370.37，量纲是金额）*参数为q的二项分布标准误差（量纲是概率）=期望（原始随机变量X在参数为q时的标准误差，量纲是金额），完成了我们的放缩操作。