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二分查找算法是查询算法一种，一般在有序数组中进行查询，时间复杂度是O（logn），但是在无序数组中寻找到一些规律也可以使用二分。二分查找是有模板的，因此一些题就可以在模版基础上修改即可，但是也有些题需要具体分析才能使用。

模版有三个：最朴素的二分查找模版，寻找左边的边界的二分查找模版，寻找右边的查找模版。

具体实现：

二分查找

题目描述

算法思路

二分查找的最主要核心是二段性，可以通过一些手段将数组分为两段区间，根据区间来寻找到目标数。这道题中数组是有序的同时是在数组中寻找数，因此我们就可以通过二分进行处理。目标数是tar，我们可以根据数组是有序的进行二分，找到中间点mid，将数组分为两段，此时就会看到mid的右边全是大于mid，左边就全是小于它的，那么我们将mid和tar进行对比，如果mid大于tra，那么如果tra存在，就一定在mid的左边，反之右边。此时就可以将right进行更新，再对新的区间进行二分查找。这题就是二分查找最简单的使用。

算法实现

    public int search(int[] nums, int target) {int left = 0;int right = nums.length-1;while(left<=right){int mid = (left+right)/2;if(nums[mid]>target){right = mid-1;}else if(nums[mid]<target){left=mid+1;}else{return mid;}}return -1;}

朴素二分的模版

while(left<=right){
int mid = left + (right-left) / 2;或者left+(right - left+1)/2;
if(....) left= mid + 1;
else if(....) right = mid+1;
else return ...;}

其中的省略号是要根据不同的题目进行修改的。

在排序数组中寻找第一和最后一个位置

题目描述

算法思路

这道题就体现了二分查找的寻找左端点和右端点。这道题中数组是非递减的，数组中要不就是上升要不就是不变，又是要根据二段性寻找目标数，此时就使用二分查找。首先是寻找左端点tra，我们可以发现，数组可以分为两段，一段是小于tra的，一段是大于等于tra的，那么我们根据二分查找到的点mid如果落到左边，此时我们就更新left让left=mid+1；当mid落到左边，此时就可以将right更新，但是我们不可以让right=mid-1，当mid落到最左端端点时，mid-1就会跳过目标值，因此只能让right=mid。

查找右端点，右端点也可以根据二段性分为两段，一段是小于等于，一段是大于tra，此时我们也是要注意上面的越界情况。

细节处理

在朴素模板中我们使用的是left<=right，但是我们发现当进行最后一次二分的时候，就已经判断完成left==right，那么此时就不用再次判断left等于right的情况了，如果判断就会死循环。

这里的寻找左端点的mid的操作是能加一的，而右端点的是不能加一的。

算法实现

 public int[] searchRange(int[] nums, int target) {int[] arr = new int[2];arr[0] = arr[1] = -1;if(nums.length == 0) return arr;if(nums.length==1&&nums[0]==target){arr[0] = arr[1] = 0;return arr;}int left = 0;int right = nums.length-1;//找到左端顶while(left<right){int mid = left + (right - left)/2;if(nums[mid]<target){left = mid+1;}else{right = mid;}}if(nums[left] != target) return arr;else arr[0] = left;left = 0;right = nums.length - 1;//右端点while(left<right){int mid = left + (right - left + 1 )/2;if(nums[mid]>target){right = mid-1;}else{left = mid;}} if(nums[left]==target)arr[1] = right;else return arr;return arr;}

二分查找寻找左/右端点

左端点

while(left<right){
int mid = left + (right-left) / 2;
if(....) left= mid + 1;
else if(....) right = mid;
else return ...;
}

右端点

while(left<right){
或者left+(right - left+1)/2;
if(....) left= mid;
else if(....) right = mid-1;
else return ...;}

这里的mid求值其实可以看上面有加一，下面就减一。

搜索插入位置

算法思路

这题根据题意就能知道使用二分。我们根据二分区间，大于和小于等于，直接套用二分模版。唯一注意就是当大于数组最后一个值时，此时就返回最后一个下标加一。

算法实现

public int searchInsert(int[] nums, int target) {int left = 0;int right = nums.length - 1;while(left<right){int mid = left+(right - left) /2;if(nums[mid]<target){left = mid+1;}else{right = mid;}}if(nums[left]<target) {return left+1;}elsereturn left;}

X的平方根

算法思路

我们可以发现x的算术平方根其实是在0~x之间的，那么就可以将问题转换成在0~x之间寻找目标值tra。那门就可以根据二分进行查找，当mid的平方后大于x，此时就让right=mid-1，反之让left=mid。

算法实现

  public int mySqrt(int x) {long left = 0;long right = x;while(left<right){long mid = left + (right - left+1) / 2;if(mid*mid<=x){left = mid;}else{right = mid-1;}}return (int)left;}

山峰数组山顶索引

算法思路

这道题中我们通过二分找到mid，会有两种情况，一是mid的值大于mid-1，大于的情况有两种：一是mid等于峰值，二是在递增区间上，所以只我们就需要将left区间更新，因为mid可能等于峰值，所以只能更新到left=mid；第二种情况是mid小于等于mid-1的值，只有一种情况就是处于递减区间，因此我们要减少right的范围。

算法实现

 public int peakIndexInMountainArray(int[] arr) {int left = 0; int right = arr.length;while(left<right){int mid = left + (right-left+1)/2;if(arr[mid]>arr[mid-1]){left = mid;}else{right = mid-1;}}return left;}

寻找旋转数组的最小值

算法思路

这里我们可以将数组想象成一段线段：

当mid小于right时，此时mid可能在递增区间，也可能在min出，所以们更新right=mid；第二种情况就是大于rght，肯定是大于min，此时更新left=mid+1。

算法实现

   public int findMin(int[] nums) {int left = 0; int right = nums.length-1;int x = nums[right];while(left<right){int mid = left+(right-left)/2;if(nums[mid]<=x){right=mid;}else{left= mid+1;}}return nums[left];}