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Problem: 1504. 统计全 1 子矩形

整体思路

这段代码的目的是计算一个二维01矩阵 mat 中，所有仅由 1 组成的子矩阵的总数量。

该算法采用了一种非常巧妙的 降维打击 策略，也称为 “固定边界法”。它通过枚举所有可能的子矩阵的 上下边界，将一个二维的矩阵计数问题，转化为多个一维的数组计数问题。

1. 核心思想：固定上下边界，转化为一维问题

   • 算法通过两层外层循环，top 和 bottom，来固定所有可能的水平“切片”（即子矩阵的上下边界）。
   • 对于每一个固定的 top 和 bottom，问题就变成了：在这个由 top 行和 bottom 行界定的、高度为 h = bottom - top + 1 的子矩阵中，有多少个全为 1 的矩形？
   • 为了解决这个子问题，算法进一步将这个切片“压扁”成一个一维数组。

2. “压扁”操作与一维数组的含义

   • 对于每个固定的 [top, bottom] 切片，算法会动态构建一个一维数组 a。
   • a[i] 的含义是：在第 i 列，从 top 行到 bottom 行，有多少个 1。
   • 代码通过 a[i] += mat[bottom][i] 巧妙地实现了这个累加。当 bottom 指针下移时，a 数组会不断更新，反映新切片中每一列的 1 的数量。
   • 如果 a[i] 的值恰好等于当前切片的高度 h，这就意味着在第 i 列，从 top 到 bottom 的所有元素都是 1。我们可以将这样的列视为一个“有效列”。

3. 解决一维问题：统计连续“有效列”构成的子数组

   • 当我们将二维切片转化为一个由“有效列”（值为 h）和“无效列”（值不为 h）组成的一维序列后，原问题就变成了：在这个一维序列中，统计所有由“有效列”组成的连续子数组的数量。
   • 这与 zeroFilledSubarray 问题（统计全0子数组）的逻辑是完全一样的。
   • 代码使用 last 变量来记录上一个“无效列”的索引。
   • 当遇到一个“有效列” i 时，i - last 的值就等于当前连续“有效列”块的长度，这也恰好是以当前第 i 列为结束列的所有新的全 1 矩形的数量。将这个值累加到 ans 中。

总结流程：枚举所有 top -> 枚举所有 bottom -> 形成一个水平切片 -> 将切片问题转化为一维的“有效列”问题 -> 在一维上统计连续子数组数量 -> 累加到总结果。

完整代码

class Solution {/*** 计算一个二维01矩阵中，所有元素都为 1 的子矩阵的总数量。* @param mat 一个由 0 和 1 组成的二维整数数组* @return 全为 1 的子矩阵的总数*/public int numSubmat(int[][] mat) {int m = mat.length;int n = mat[0].length;int ans = 0;// 外层循环：固定子矩阵的上边界 topfor (int top = 0; top < m; top++) {// a: 一维数组，用于“压扁”二维子矩阵。// a[i] 将存储在当前 [top, bottom] 切片中，第 i 列的 1 的总数。int[] a = new int[n];// 中层循环：固定子矩阵的下边界 bottom，从 top 开始向下扩展for (int bottom = top; bottom < m; bottom++) {// last: 记录上一个“无效列”的索引。初始化为-1。int last = -1;// h: 当前 [top, bottom] 切片的高度。int h = bottom - top + 1;// 内层循环：遍历当前切片的每一列for (int i = 0; i < n; i++) {// 更新列的和：将 bottom 行的新元素加入a[i] += mat[bottom][i];// 判断当前列是否为“有效列”// 如果 a[i] 不等于切片高度 h，说明该列在 [top, bottom] 之间存在 0if (a[i] != h) {// 这是一个无效列，更新 last 的位置last = i;} else {// 这是一个有效列。// i - last 的值等于当前连续有效列的长度。// 这个长度也等于以当前第 i 列为结束列的、新的全1矩形的数量。ans += i - last;}}}}return ans;}
}

时空复杂度

时间复杂度：O(m² * n)

1. 外层循环 (top)：执行 m 次。
2. 中层循环 (bottom)：对于每个 top，bottom 从 top 运行到 m-1。总的迭代次数是 m + (m-1) + ... + 1，这是一个 O(m²) 的级别的操作。
3. 内层循环 (i)：对于每一对 (top, bottom)，i 循环执行 n 次。

综合分析：
算法的总操作次数大致是 (m * m / 2) * n。因此，其时间复杂度为 O(m² * n)。

空间复杂度：O(n)

1. 主要存储开销：算法在 top 循环的每次迭代中，都会创建一个名为 a 的整型数组。
2. 空间大小：数组 a 的长度是 n，即矩阵的列数。这个数组在下一次 top 循环开始时会被重新创建，所以空间不会累积。
3. 其他变量：m, n, ans, top, bottom, last, h, i 等都只占用常数级别的空间。

综合分析：
算法在任何时刻所需的额外辅助空间主要由数组 a 决定。因此，其空间复杂度为 O(n)。

参考灵神