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信奥赛CSP-J复赛集训（DP专题）（28）：P2946 [USACO09MAR] Cow Frisbee Team S

题目描述

老唐最近迷上了飞盘，约翰想和他一起玩，于是打算从他家的 $N$ 头奶牛中选出一支队伍。

每只奶牛的能力为整数，第 $i$ 头奶牛的能力为 $R_i$。飞盘队的队员数量不能少于 $1$、大于 $N$。一支队伍的总能力就是所有队员能力的总和。

约翰比较迷信，他的幸运数字是 $F$，所以他要求队伍的总能力必须是 $F$ 的倍数。请帮他算一下，符合这个要求的队伍组合有多少？由于这个数字很大，只要输出答案对 $10^8$ 取模的值。

输入格式

第一行：两个用空格分开的整数：$N$ 和 $F$。

第二行到 $N+1$ 行：第 $i+1$ 行有一个整数 $R_i$，表示第 $i$ 头奶牛的能力。

输出格式

第一行：单个整数，表示方案数对 $10^8$ 取模的值。

输入输出样例 #1

输入 #1

4 5 
1 
2 
8 
2

输出 #1

3

说明/提示

对于 $100\%$ 的数据，$1\le N\le 2000$，$1\le F\le 1000$，$1\le R_i\le 10^5$。

AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;const int MOD = 1e8;  // 定义模数
int n, f, a[2010];    // n为奶牛数，f为幸运数，a存储每头奶牛能力值模f后的余数
int dp[2010][1010];   // dp[i][j]表示前i头奶牛中选出若干头，总余数为j的方案数int main() {cin >> n >> f;for (int i = 1; i <= n; i++) {cin >> a[i];a[i] %= f;  // 预处理，转换为模f的余数，便于后续计算}// 初始化：单独选第i头奶牛的情况，余数为a[i]，方案数为1for (int i = 1; i <= n; i++) {dp[i][a[i]] = 1;}// 动态规划过程for (int i = 1; i <= n; i++) {           // 遍历每头奶牛for (int j = 0; j < f; j++) {        // 遍历所有可能的余数// 状态转移：当前状态由不选第i头、选第i头两种情况转移而来// 不选第i头：方案数继承自dp[i-1][j]// 选第i头：需要前i-1头的余数为(j - a[i] + f) % f，确保加上a[i]后余数为jdp[i][j] = (dp[i][j] + dp[i-1][j] + dp[i-1][(j - a[i] + f) % f]) % MOD;}}cout << dp[n][0] << endl;  // 输出前n头奶牛中余数为0的方案数return 0;
}

功能分析

该程序使用动态规划解决组合问题，目标是找出所有可能的奶牛组合，使其总能力值为给定幸运数F的倍数。关键点在于利用模运算缩小状态规模，并通过动态规划递推求解。

1. 预处理：将每头奶牛的能力值转换为模F的余数，简化后续计算。
2. 初始化：每头奶牛单独成组的情况直接处理。
3. 状态转移：对于每头奶牛，分两种情况（选或不选）更新状态，确保每次转移后余数正确。
4. 结果输出：最终答案为所有奶牛处理完毕后余数为0的组合数，即满足条件的方案总数。

文末彩蛋：

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