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伯努利分布(0-1分布)

应用场景实例

一面不均匀的硬币,抛出为正面的概率是0.8,问反面的概率是多少?

定义

单次独立的伯努利试验（成功/失败），结果为0或1。
记法:
$$\boxed{X\sim B(1,p)或X\sim \text{Bernoulli}(p)}$$

随机变量

依据定义,随机变量取值只能是0或1,对应成功和失败,那么本例可以定义:
$$X(\omega )=\{\begin{array}{ll}1,& \omega =正面\\ 0,& \omega =反面\end{array}$$
故
X∈{0,1} X\in\{0,1\} X∈{0,1}

参数

对于伯努利分布,参数就一个$p$; 参数 $p\in (0,1)$ ,是分布的核心属性，表示成功的概率 $P(X=1)=p$。若 $p=0$ 或 $p=1$，分布退化为确定性事件。

函数表达

显而易见,失败的概率就是(1-成功概率);故概率质量函数可表达为:
$$\boxed{P(X=k)=p^k(1-p{)}^{1-k},k=0,1(0<p<1)}$$
或者可以列表表达分布:

$X$	0	1
$P(X=k)$	$1-p$	$p$

分布特征值

• 期望: $E(X)=p$;期望即事件成功的概率;
• 方差: $\text{Var}(X)=p(1-p)$;方差衡量随机变量的离散程度。当 $p=0.5$ 时,方差最大(0.25)，因为结果最不确定;当 p 接近 0 或 1 时,方差趋近于 0,因为结果几乎确定。

期望推导过程:
$$\begin{array}{rl}E(X)& =\sum _{i=1}^n{x}_{i}p(x_i)\\ & =x_{0}p(x_0)+x_{1}p(x_1)\\ & =0\times (1-p)+1\times p\\ & =p\end{array}$$

方差推导过程:依据方差公式可以2种方式推导;
$$\begin{array}{c}\text{Var}(X)=\sum _{i=1}^{n}p(x_i)[x_i-E[X]{]}^2\\ \text{Var}(X)=E[X^2]-(E[X]{)}^2\end{array}$$
法1:
$$\begin{array}{rl}\text{Var}(X)& =\sum _{i=1}^{n}p(x_i)[x_i-E[X]{]}^2\\ & =(1-p)(0-p{)}^2+p(1-p{)}^2\\ & =p-p^2\\ & =p(1-p)\end{array}$$
法2:
$E(X^2)$ 的计算：
当 $X=1$ 时，$X^2=1$，概率为 $p$;
当 $X=0$ 时，$X^2=0$，概率为 $1-p$;
$$\begin{array}{rl}E(X^2)& =1\cdot p+0\cdot (1-p)=p;\\ \text{Var}(X)& =E[X^2]-(E[X]{)}^2\\ & =p-p^2\\ & =p(1-p)\end{array}$$

• 其他：
  伯努利分布适用于仅有两种互斥结果的随机试验（如抛硬币、开关状态等）。通过定义随机变量 $X$，可将任意二元试验建模为伯努利分布。