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单独复习一下 BCD码和余3码的关系

news 2025/10/20 10:27:50

我们都知道，余三码是BCD码的一种“改良版”或“功能增强版”。现稍微详细地回顾一下 BCD码和余三码，并说明一下这个关系。

1. BCD码

1.1. 定义
BCD码，全称为“二-十进制编码”或“8421码”，是一种用4位二进制数来表示1位十进制数的编码方法。

1.2. 编码规则
由于4位二进制数有16种组合，而表示1位十进制数只需要10种组合。BCD码只使用前10种组合，即 0000 到 1001，分别对应十进制数字 0 到 9。剩下的6种组合（1010 到 1111）在BCD码中是无效的。

它的权重分配非常直观，从高位到低位依次是8、4、2、1，因此也得名8421码。

1.3. 编码表

十进制数字	BCD码 (8421码)
0	`0000`
1	`0001`
2	`0010`
3	`0011`
4	`0100`
5	`0101`
6	`0110`
7	`0111`
8	`1000`
9	`1001`

1.4. 特点

直观简单

编码方式与二进制数值本身基本一致，非常容易理解和转换。

易于转换

将十进制数转换为BCD码，只需将每一位十进制数字独立地替换成对应的4位二进制码即可。

例如：十进制 123 的 BCD码是 0001 0010 0011。

存在浪费

16个编码中只使用了10个，有6个是冗余状态。

运算复杂

进行加法运算时，由于“逢十进一”的规则与二进制的“逢十六进一”不同，当某一位的和大于9时，需要做“+6校正”（即加上 0110）来修正结果。

2. 余三码

2.1. 定义
余三码是一种无权码，它是在BCD码的基础上加上一个固定的数值“3”（即 0011）后得到的编码。

2.2. 编码规则
对于一个十进制数字，先找到其对应的BCD码，然后在这个BCD码的值上加上 0011（即十进制的3），得到的结果就是该数字的余三码。

2.3. 编码表

十进制数字	BCD码 (8421码)	余三码
0	`0000`	`0011` (0+3)
1	`0001`	`0100` (1+3)
2	`0010`	`0101` (2+3)
3	`0011`	`0110` (3+3)
4	`0100`	`0111` (4+3)
5	`0101`	`1000` (5+3)
6	`0110`	`1001` (6+3)
7	`0111`	`1010` (7+3)
8	`1000`	`1011` (8+3)
9	`1001`	`1100` (9+3)

4. 特点

自补性

这是余三码最重要的特性。观察上表可以发现，0 (0011) 和 9 (1100) 的编码互为反码；1 (0100) 和 8 (1011) 的编码互为反码，以此类推。这个特性使得在余三码系统中，求一个数的“9的补数”（即9减去该数）变得异常简单，只需将其二进制位按位取反即可。这大大简化了十进制减法运算的硬件设计。

无权码

它的每一位没有固定的权重（如8,4,2,1），因此不能直接按权重计算其数值。

运算优势

当两个余三码相加时，如果产生进位，正好对应十进制运算的“逢十进一”，这简化了加法器的设计。

3. 两者的关系

余三码与BCD码有着直接且紧密的衍生关系。

1. 转换关系

BCD码 → 余三码：在BCD码的基础上 加上 0011 (3)。

公式：余三码 = BCD码 + 0011

余三码 → BCD码：在余三码的基础上 减去 0011 (3)。

公式：BCD码 = 余三码 - 0011

2. 设计哲学的联系

BCD码 的设计哲学是直观映射，追求与十进制数字最直接的对应关系。

余三码 的设计哲学是功能优化，它通过一个简单的数学变换（+3）改变了编码空间，从而获得了BCD码所不具备的自补性和更好的运算特性。

3. 状态空间的联系
两者都使用4位二进制码，但有效的10个编码在16个可能的状态中占据了不同的位置：

BCD码 占据了编码空间的下半部分 (0000 ~ 1001)。

余三码 将BCD码的编码空间整体向上平移了3个单位，占据了中间部分 (0011 ~ 1100)。这使得其编码关于中心对称，从而实现了自补性。

4. 总结对比

特性	BCD码 (8421码)	余三码
编码方式	有权码 (8,4,2,1)	无权码
与十进制关系	直接对应	BCD码 + 3
0的编码	`0000`	`0011`
9的编码	`1001`	`1100`
主要优点	直观，易于转换	自补性，简化十进制运算
主要缺点	运算复杂，需要校正	不直观，需转换
核心关系	基础	由BCD码衍生而来，旨在解决BCD码的运算缺陷