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论文引用：
Qiang Long, Changzhi Wu, Tingwen Huang, Xiangyu Wang,
A genetic algorithm for unconstrained multi-objective optimization,
Swarm and Evolutionary Computation,
Volume 22,
2015,
Pages 1-14,
ISSN 2210-6502,
https://doi.org/10.1016/j.swevo.2015.01.002.

这部分内容围绕多目标遗传算法（MOGAs）评估体系展开，核心是构建能衡量算法性能的指标，从逼近真实 Pareto 前沿的程度（ closeness ） 和 解集分布多样性（ diversity ） 两维度设计，具体总结如下：

一、评估体系设计背景

多目标遗传算法（MOGAs）输出 Pareto 近似解集 而非单一最优解，直接对比算法性能困难。需建立评估体系，从“解与真实 Pareto 前沿的接近度”和“解的分布多样性”两个核心维度，量化衡量 MOGAs 的数值性能。

二、评估体系理论基础

多目标优化本质融合两种策略：

1. 逼近性（Closeness）：最小化解集与真实 Pareto 前沿的距离，类似单目标优化“找最优解”；
2. 多样性（Diversity）：最大化解集在目标空间的分布广度，类似多峰优化“找多最优解”。

评估体系围绕这两个策略，设计接近度指标（Closeness metric）和多样性指标（Diversity metric）。

三、接近度指标（Closeness Metric）

目标：衡量解集与真实 Pareto 前沿（${\mathcal{P}}^{\ast }$）的接近程度，核心优化传统指标的缺陷。

1. 传统 Error Ratio（ER）

• 原理：统计解集$Q$中不属于真实 Pareto 前沿的解数量，计算占比：
  $$\text{ER}=\frac{{\sum }_{i=1}^{|Q|}{e}_i}{|Q|},e_i=\{\begin{array}{ll}1& \text{若 }{x}_i\in Q\text{ 且 }{x}_i\notin {\mathcal{P}}^{\ast }\\ 0& \text{若 }{x}_i\in Q\text{ 且 }{x}_i\in {\mathcal{P}}^{\ast }\end{array}$$
• 缺陷：仅严格区分“是否属于${\mathcal{P}}^{\ast }$”，无法体现“接近但非严格属于”的解，对接近度衡量不足。

2. 改进的 Modified Error Ratio（MER）

• 优化思路：引入“解到真实 Pareto 前沿的距离$d_i$”，用指数函数软化严格判定：
  $$e_i=e^{-\alpha d_i},d_i=\underset{P\in {\mathcal{P}}^{\ast }}{\min }d(x_i,P)$$
  （$\alpha \in [1,4]$为参数，$d(\cdot )$为欧氏距离等度量方式）
• 计算：改进后指标仍按比例计算：
  $$\text{MER}=\frac{{\sum }_{i=1}^{|Q|}{e}_i}{|Q|}$$
• 优势：$e_i\in (0,1]$，距离越近$e_i$越接近 1，MER 越大说明解集整体越接近真实 Pareto 前沿。

四、多样性指标（Diversity Metric）

目标：衡量解集在目标空间的分布均匀性，采用**基于单元格划分（cell-based）**的方法。

1. 核心步骤（Cell-based 流程）

• Step 1：输入 Pareto 前沿的上下界（$ub,lb$），设置维度分段数$\beta$（控制网格精细度）；
• Step 2：将目标函数空间按$\beta$分段，划分为单元格（cell）网格；
• Step 3：遍历解集中的每个解，若解落在单元格内，标记该单元格为“有解（indicator=1）”；
• Step 4：统计标记为 1 的单元格数量$M$，计算多样性指标：
  $$R=\frac{M}{|Q|}$$

2. 关键参数$\beta$的影响

-$\beta$过小（网格过粗）：解易集中在少数单元格，无法区分分布差异；
-$\beta$过大（网格过细）：每个解可能单独占一个单元格，同样无法有效评估多样性；

• 建议：$\beta$设为接近或略大于种群规模，保证$R\in (0,1]$，合理反映分布多样性。

3. 指标含义

$R$越大，说明解分布在更多单元格中，解集多样性越好（如示例中 20 个解分布对应$R=13/20=0.65$）。

五、体系价值

通过“接近度（MER）”和“多样性（$R$）”两个指标，可量化对比不同 MOGAs 的性能：

• MER 反映算法寻优精度（是否接近真实 Pareto 前沿）；
• $R$反映算法解的分布质量（是否均匀覆盖前沿）。

二者结合，为多目标遗传算法的改进、对比提供了可量化的评估框架，尤其适用于测试问题（已知 Pareto 前沿）的算法验证。