杨-米尔斯方程 Fμν = ∂μAν - ∂νAμ + ig[Aμ, Aν]

享誉世界的物理学家、诺贝尔物理学奖获得者，中国科学院院士，清华大学教授、清华大学高等研究院名誉院长杨振宁先生，因病于2025年10月18日12时00分在北京逝世，享年103岁。

振宁先生1922年出生于安徽合肥，1929年随父母来到清华园。1938年考入西南联合大学，1942年入清华大学研究院，1944年获理学硕士学位，1945年作为清华大学留美公费生赴美留学，就读于芝加哥大学，1948年获博士学位后留校工作。1949年加入普林斯顿高等研究院，1952年任永久研究员，1955年任教授。1966年任纽约州立大学石溪分校爱因斯坦讲座教授，创立理论物理研究所（现名为杨振宁理论物理研究所），并在该研究所工作至1999年。1986年起应邀担任香港中文大学博文讲座教授。1997年起任新成立的清华大学高等研究中心（现名为高等研究院）名誉主任，1999年起任清华大学教授。

杨振宁先生是20世纪最伟大的物理学家之一，为现代物理学的发展作出卓越贡献。他与米尔斯提出的“杨-米尔斯规范场论”奠定了后来粒子物理标准模型的基础，被认为是现代物理学的基石之一，是与麦克斯韦方程和爱因斯坦广义相对论相媲美的最重要的基础物理理论之一。他与李政道合作提出弱相互作用中宇称不守恒的革命性思想，并获得1957年诺贝尔物理学奖，共同成为最早获得诺贝尔奖的中国人。他发现了一维量子多体问题的关键方程式“杨-巴克斯特方程”，开辟了统计物理和量子群等物理和数学研究的新方向。他在粒子物理、场论、统计物理和凝聚态物理等物理学多个领域取得的诸多成就，对这些领域的发展产生深远影响。他是十余个国家和地区科学院的外籍院士，获颁国内外二十余所知名大学的名誉博士学位，还获得了美国国家科学奖章、富兰克林奖章、昂萨格奖、费萨尔国王国际科学奖、中国国际科技合作奖、求是终身成就奖等众多荣誉。

杨振宁先生毕生心系家国，为祖国的科教事业作出了杰出贡献。1971年他首次回新中国访问，掀起大批华裔学者访华热潮，被誉为架设中美学术交流桥梁第一人，后又向中央领导同志提议恢复和加强基础科学研究。他亲自募集资金设立“对华教育交流委员会”，持续资助中国学者近百人到美国进修，这些学者成为后来中国科技发展的中坚力量。他为促进国内科技交流和进步做了大量工作，为中国重大科学工程和科教政策制定建言献策、发挥了重要影响。回到清华之后，他把高等研究院的发展作为自己的新事业，为清华大学物理学等基础学科的发展和学校人才培养事业倾注了大量心血、作出了极大贡献，对中国高等教育的改革发展产生了重要影响。

杨振宁先生的一生，是探索未知的不朽传奇，是心怀家国的永恒回响。“宁拙毋巧，宁朴毋华”是他的治学态度，也是他的人生态度。正如他钟爱的诗句“文章千古事，得失寸心知”，杨振宁先生的百年人生是一部闪耀在人类群星中的千古篇章。

杨振宁先生永垂不朽！

为了纪念杨先生，特此学习一下杨-米尔斯理论；

Fμν = ∂μAν - ∂νAμ + ig[Aμ, Aν]这个公式是 杨-米尔斯理论 中规范场强张量的定义式。它是对电磁学中场强张量的推广，是描述所有非阿贝尔规范理论（包括粒子物理标准模型）的基础。

公式为：

$F_{\mu \nu }={\partial }_{\mu }{A}_{\nu }-{\partial }_{\nu }{A}_{\mu }+ig[A_{\mu },A_{\nu }]$

我们来分解它的每一个部分：

1. 符号解释

• Fμν：规范场强张量。

  • 这是一个二阶张量（有 μ 和 ν 两个指标），描述了规范场的强度。
  • 在电磁学中，它的分量直接对应我们熟悉的电场 (E) 和磁场 (B)。
  • 在更复杂的理论（如量子色动力学QCD）中，它描述了胶子场或W、Z玻色子场的强度。

• Aμ：规范势 或 规范场。

  • 这是一个四维矢量（有一个指标μ），在理论中通常作为基本自由度。
  • 在电磁学中，它就是电磁四维势 (φ, A)，其中 φ 是标量势，A 是矢量势。
  • 关键点：在非阿贝尔理论中，Aμ 不是一个普通的数，而是一个矩阵（属于某个李代数，如 SU(3) 群）。例如，在描述强相互作用的QCD中，Aμ 是一个 3x3 的矩阵（有8个独立的颜色分量）。

• ∂μ：偏导数。

  • ∂μ = ∂/∂xμ，即对时空坐标 xμ 的偏导。

• g：耦合常数。

  • 它代表了相互作用的强度。例如，在强相互作用中，它就是强耦合常数 gs。

• i：虚数单位。

  • 由于场算符可能是厄米算符，前面的 i 可以确保整个表达式也是厄米的。它与量子力学中的波函数相位密切相关。

• [Aμ, Aν]：对易子。

  • 定义为 [Aμ, Aν] = AμAν - AνAμ。
  • 这是整个公式与电磁学情形的本质区别！因为 Aμ 和 Aν 是矩阵，矩阵乘法不满足交换律，所以这个对易子通常不为零。

2. 与电磁学（阿贝尔规范理论）的对比

在电磁学（U(1)规范理论）中，Aμ 是普通的数（1x1矩阵），而不是矩阵。因此，它们是对易的：

[Aμ, Aν] = AμAν - AνAμ = 0

所以，整个公式退化为我们熟悉的形式：

Fμν = ∂μAν - ∂νAμ

这正是电磁场强张量的定义。它的6个独立分量就是电场和磁场：

• F⁰ⁱ = -Eⁱ （i=1,2,3）
• Fⁱʲ = -εⁱʲᵏ Bᵏ （i,j,k=1,2,3）

3. “i g [Aμ, Aν]” 项的含义和重要性

这一项是非阿贝尔规范理论的标志。

• 自相互作用：因为规范场 Aμ 本身带“荷”（在QCD中叫“色荷”），所以规范场（或者说其量子，规范玻色子）之间可以直接相互作用。

  • 例如，光子（电磁场的量子）是电中性的，所以光子之间不直接相互作用。
  • 而胶子（强相互作用场的量子）本身带色荷，所以胶子与胶子之间可以直接发生相互作用。这个“i g [Aμ, Aν]”项在作用量中会产生诸如“三胶子顶点”和“四胶子顶点”的相互作用项。

• 非线性：这一项使得场方程变为非线性的（类似于广义相对论中的爱因斯坦场方程），这大大增加了问题的复杂性，但也带来了诸如渐进自由（Asymptotic Freedom）等关键特性。

• 规范协变性：在数学上，增加这一项是为了保证 Fμν 在局域规范变换下具有漂亮的变换性质（协变性），从而使整个理论满足规范不变性。

4. 总结

这个公式 Fμν = ∂μAν - ∂νAμ + i g [Aμ, Aν] 的意思是：

1. 广义的“电场和磁场”：它定义了在更普遍的规范理论中，场强的数学表达式。
2. 区分两类理论：
   • 如果最后一项为零（[Aμ, Aν]=0），则是阿贝尔规范理论（如电磁学），其规范玻色子（光子）不自相互作用。
   • 如果最后一项不为零（[Aμ, Aν]≠0），则是非阿贝尔规范理论（如强、弱相互作用），其规范玻色子（胶子、W、Z玻色子）自身之间存在相互作用。这一项是此类理论的精髓。
3. 现代物理学的基石：它是粒子物理标准模型（描述强、弱、电磁三种基本相互作用）的数学核心之一。

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杨-米尔斯理论 中规范场强张量是通过电磁学中场强张量延申出来的吗？

是的，您的理解完全正确。杨-米尔斯理论中的规范场强张量，正是通过将电磁学（麦克斯韦理论）中的场强张量进行推广和延伸而得到的。

这个延伸过程并非凭空创造，而是遵循着一个清晰而深刻的物理思想：从“可交换”的对称性到“不可交换”的对称性。

下面我们来详细拆解这个延伸的过程：

第一步：基础——电磁学（U(1)规范理论）

在电磁学中，我们知道描述电磁场的基本量是电磁势 ( $A_{\mu }=(\varphi ,\vec{A})$ )。而我们观测到的物理场——电场和磁场，是由场强张量 ( F_{\mu\nu} ) 描述的，其定义为：

[
$F_{\mu \nu }={\partial }_{\mu }{A}_{\nu }-{\partial }_{\nu }{A}_{\mu }$
]

这个结构的来源是什么？
它源于要求理论在U(1)局域规范变换下保持不变。U(1)群是阿贝尔群（可交换群），其变换可以简单地用一个相因子 ( $e^{i\theta (x)}$ ) 表示。在数学上，为了构造一个协变的导数，我们引入了 ( $A_{\mu }$ ) 作为连接。而 ( $F_{\mu \nu }$ ) 正是这个“规范协变导数”的曲率，它衡量了如果我们在时空中做一个无穷小环路的平移，波函数相位会发生多大的不可积的变化（即“和路径有关”）。这个曲率就是可观测的场强。

关键点： 因为U(1)群的生成元是1（一个简单的数），所以 ( $A_{\mu }$ ) 的各个分量是对易的（即 ( $[A_{\mu },A_{\nu }]=0$ )）。这就是为什么定义式中没有后面那项。

第二步：延伸——杨-米尔斯理论（非阿贝尔规范理论）

杨振宁和米尔斯思考的问题是：能否将这种优美的规范对称性原理，从简单的U(1)群推广到更复杂的、非阿贝尔的连续群（如SU(2)、SU(3)）？

他们成功了，但推广的过程要求场强张量的定义必须做出改变。

1. 规范群的变化：假设物理系统在一个更复杂的内部空间对称群下不变，比如SU(2)（同位旋群）。SU(2)群的生成元是泡利矩阵，它们不对易（( $[{\sigma }_i,{\sigma }_j]\ne 0$ )）。

2. 规范势的变化：相应地，规范势 ( $A_{\mu }$ ) 不再是一个普通的四维矢量，而必须成为一个李代数值矢量。也就是说，它的每一个时空分量 ( $\mu$ ) 本身都是一个矩阵（生成元的线性组合）。

   • 对于SU(2)理论，( $A_{\mu }=A_{\mu }^a\frac{{\sigma }^a}{2}$ )，这里 ( $a=1,2,3$ )，所以实际上有三个规范势 ( $A_{\mu }^1,A_{\mu }^2,A_{\mu }^3$ )，每个都对应一种规范玻色子。

3. 核心挑战：非对易性：由于 ( $A_{\mu }$ ) 和 ( $A_{\nu }$ ) 现在是矩阵，它们不满足交换律。如果我们仍然沿用电磁学的定义 ( $F_{\mu \nu }={\partial }_{\mu }{A}_{\nu }-{\partial }_{\nu }{A}_{\mu }$ )，我们会发现这个新的 ( $F_{\mu \nu }$ ) 在局域规范变换下，行为会非常“丑陋”，不会像电磁场那样简单地变换，从而无法保证整个理论的规范不变性。

4. 解决方案：添加补偿项：为了解决非对易性带来的问题，必须在定义中增加一个额外的项来“补偿”那些破坏规范不变性的部分。这个项就是 ( $ig[A_{\mu },A_{\nu }]$ )。

   因此，推广后的场强张量定义为：
   [
   $F_{\mu \nu }={\partial }_{\mu }{A}_{\nu }-{\partial }_{\nu }{A}_{\mu }+ig[A_{\mu },A_{\nu }]$
   ]
   其中：

   • ( $[A_{\mu },A_{\nu }]=A_{\mu }{A}_{\nu }-A_{\nu }{A}_{\mu }$ ) 是对易子。
   • ( $g$ ) 是耦合常数，描述相互作用的强度。

总结延伸关系

特性	电磁学 (U(1) 阿贝尔理论)	杨-米尔斯理论 (非阿贝尔理论)
对称群	U(1) (可交换)	SU(N) 等 (不可交换)
规范势 ( $A_{\mu }$ )	普通的数/矢量	矩阵（李代数值）
对易关系	( $[A_{\mu },A_{\nu }]=0$ )	( $[A_{\mu },A_{\nu }]\ne 0$ )
场强张量 ( $F_{\mu \nu }$ )	( ${\partial }_{\mu }{A}_{\nu }-{\partial }_{\nu }{A}_{\mu }$ )	( ${\partial }_{\mu }{A}_{\nu }-{\partial }_{\nu }{A}_{\mu }+ig[A_{\mu },A_{\nu }]$ )
物理后果	光子不带电荷，无自相互作用	规范玻色子带“荷”，有自相互作用

结论：

杨-米尔斯理论中的规范场强张量确实是电磁学中场强张量的直接且自然的延伸。这个延伸的核心动机是将规范原理应用于更复杂的对称性，而其数学实现的关键步骤，就是在定义中加入一个由规范势的对易子构成的补偿项 ( $ig[A_{\mu },A_{\nu }]$ )。这一项不仅是数学上的必要，更带来了深刻的物理后果——规范玻色子的自相互作用，从而为我们理解弱力和强力（标准模型的基石）提供了理论框架。