相机成像中的平行平面成像

1. 基本原理

相机中的平行平面成像是指当物体与成像平面平行时，其在成像平面上的投影保持形状相似、比例一致，仅在尺度上发生线性缩放的成像关系，如下图所示。

在针孔相机模型中，相机坐标系下的三维点 $P=(x_c,y_c,z_c{)}^T$ 可通过透视投影变换，得到其在像素坐标系中的齐次坐标 $p^{\prime }=(u,v{)}^T$，两者满足以下关系：：
$$\{\begin{array}{l}u=f_x\frac{x_c}{z_c}+c_x\\ \\ v=f_y\frac{y_c}{z_c}+c_y\end{array}$$在平行平面成像模型中，由于物体平面深度 $z_0$ 恒定，即有：
$$\{\begin{array}{l}{u}^{\prime }-u=\frac{f_x}{z_0}(x_c^{\prime }-x_c)\\ \\ v^{\prime }-v=\frac{f_y}{z_0}(y_c^{\prime }-y_c)\end{array}$$则相机坐标系上的直线距离为：
$$L=\sqrt{(x_c^{\prime }-x_c{)}^2+(y_c^{\prime }-y_c{)}^2}=\sqrt{(\frac{z_0}{f_x}{)}^2(u^{\prime }-u{)}^2+(\frac{z_0}{f_y}{)}^2(v^{\prime }-v{)}^2}=\sqrt{k_x^2(u^{\prime }-u{)}^2+k_y^2(v^{\prime }-v{)}^2}$$其中，$k_x=\frac{z_0}{f_x}$，$k_y=\frac{z_0}{f_y}$。

当 $f_x=f_y$ 时，有：
$$L=\sqrt{(x_c^{\prime }-x_c{)}^2+(y_c^{\prime }-y_c{)}^2}=k_x\sqrt{(u^{\prime }-u{)}^2+(v^{\prime }-v{)}^2}=k_x{L}^{\prime }$$此时，成像平面上的线段长度 $L^{\prime }$ 与其在物体平面对应的实际长度 $L$ 呈线性比例关系。
综上，在平行平面成像中，除相机内参外，物体的深度 $z_0$ 是确定像物比例关系的唯一所需参数。

2. 情况分析

2.1. 已知 $f_x$ 和 $f_y$，分析深度 $z_0$ 对长度测量误差

已知相机标定参数
$$K=\left(\begin{array}{ccc}2551738.737652818& 0& 9492.506580806375\\ 0& 2551738.737652818& 4739.820431526106\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$其中，$f_x=2551738.737652818\text{pixels}$，$f_y=2551738.737652818\text{pixels}$。
当 $u^{\prime }-u=1$ 且 $v^{\prime }-v=0$ 时，有：
$$L=\sqrt{(\frac{z_0}{2551738.737652818}{)}^2}=\frac{z_0}{2551738.737652818}$$
如果 $z_0=100\text{cm}=1000\text{mm}$，此时 $L=\frac{1000}{2551738.737652818}\approx 0.00039\text{mm}$。因此，当物体深度为 100 mm 时，图像中一个像素的定位误差，将导致约 0.00039 mm 的长度测量误差。

2.2. $k_x$ 和 $k_y$ 对长度测量误差的影响

仅考虑单个坐标轴，假设 $u^{\prime }-u=360\text{pixels}$ 且 $v^{\prime }-v=0$，则有：
$$L=300\times k_x$$假设 $k_x$ 从 0.023 变化到 0.024，那么长度测量误差为 $\Delta L=360\times (0.024-0.023)=360\times 0.001=0.36\text{mm}$。也就是说，$k_x$ 仅变化 0.001，真实直线长度就变化了 0.36 mm。

分析表明，在像素坐标系中，直线的长度越大，其受参数 $k_x$ 的影响越大。具体而言，当该直线在像素坐标 $u$ 方向上的投影差为 $u^{\prime }-u=90\text{pixels}$ 时，$k_x$ 从 0.023 变化到 0.024 会引入的长度测量误差为 $\Delta L=90\times 0.001=0.09\text{mm}$。

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考虑到更加大的直线，例如 $(2791.63,612.30)$ 到 $(13635.09,429.28)$。
假设 $k_x$ 和 $k_y$ 均从 $0.0239$ 变化到 $0.02395$（变化 0.00005），那么：
$$\Delta L=\sqrt{0.02395^2\times 10843.46^2+0.02395^2\times 183.02^2}-\sqrt{0.0239^2\times 10843.46^2+0.0239^2\times 183.02^2}\approx 0.54\text{mm}$$假设 $k_x$ 和 $k_y$ 均从 $0.0239$ 变化到 $0.0240$（变化 0.0001），那么：
$$\Delta L=\sqrt{0.0240^2\times 10843.46^2+0.0240^2\times 183.02^2}-\sqrt{0.0239^2\times 10843.46^2+0.0239^2\times 183.02^2}\approx 1.09\text{mm}$$假设 $k_x$ 和 $k_y$ 均从 $0.023$ 变化到 $0.024$（变化 0.001），那么：
$$\Delta L=\sqrt{0.024^2\times 10843.46^2+0.024^2\times 183.02^2}-\sqrt{0.023^2\times 10843.46^2+0.023^2\times 183.02^2}\approx 10.9\text{mm}$$从上述可以看出，$k_x$ 和 $k_y$ 仅变化 0.00005，长度测量误差就有 0.54 mm。

2.3. 根据高精度标定板，求与标定板厚度相差 $\Delta z$ 的纸张的 $k_x$ 和 $k_y$

通过棋盘格标定板的角点可计算相机参数 $f_x$、$f_y$、$k_x$ 和 $k_y$，其中，$k_x$ 和 $k_y$ 分别为像素坐标系 X 轴与 Y 轴上相邻角点的像素距离与其真实物理距离的比值，即有：
$$\{\begin{array}{l}{k}_x=\frac{f_x}{z_0}\\ \\ k_y=\frac{f_y}{z_0}\end{array}$$
假设纸张对应的参数为 $k_x^{\prime }$ 和 $k_y^{\prime }$。因为标定板比纸张厚 $\Delta z$，则有：
$$\{\begin{array}{l}{k}_x^{\prime }=\frac{f_x}{z_0+\Delta z}=\frac{f_x}{\frac{f_x}{k_x}+\Delta z}=\frac{k_x{f}_x}{f_x+k_x\Delta z}\\ \\ k_y^{\prime }=\frac{f_y}{z_0+\Delta z}=\frac{f_y}{\frac{f_y}{k_y}+\Delta z}=\frac{k_y{f}_y}{f_y+k_y\Delta z}\end{array}$$