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动态规划（Dynamic Programming）详解

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目录

1. 动态规划简介
2. 动态规划核心思想
3. 动态规划问题的基本要素
4. 动态规划应用步骤
5. 经典动态规划问题解析
6. 动态规划优化技巧
7. 实际应用案例
8. 动态规划的优缺点
9. 总结与学习资源

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1. 动态规划简介

动态规划（Dynamic Programming, DP） 是一种解决复杂问题的算法设计范式，通过将原问题分解为相对简单的子问题，并利用子问题之间的关系，避免重复计算，最终高效求解全局最优子结构问题。

• 核心目标：以空间换时间，降低时间复杂度（通常从指数级降至多项式级）。
• 适用场景：最优化问题、计数问题、存在重叠子问题和最优子结构的问题（如背包问题、路径规划、编辑距离等）。

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2. 动态规划核心思想

2.1 三大关键特性

1. 最优子结构（Optimal Substructure）
   问题的最优解包含其子问题的最优解。
   示例：最短路径中，若路径A→B→C是A到C的最短路径，则A→B和B→C也必须是各自段的最短路径。

2. 重叠子问题（Overlapping Subproblems）
   子问题会被重复计算多次，通过记忆化（缓存中间结果）减少冗余计算。

3. 无后效性（Markov Property）
   当前状态仅与之前状态有关，与后续决策无关。

2.2 与分治法、贪心算法的区别

方法	子问题独立性	重复计算	最优性保证
分治法	子问题独立	可能重复	不保证
贪心算法	自顶向下选择	无	局部最优
动态规划	依赖子问题	避免重复	全局最优

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3. 动态规划问题的基本要素

3.1 状态定义（State）

• 用 dp[i][j] 或 dp[i] 表示问题的某个中间状态。
• 示例：在背包问题中，dp[i][w] 表示前 i 个物品在容量 w 下的最大价值。

3.2 状态转移方程（State Transition Equation）

• 描述状态之间的递推关系，是动态规划的核心公式。
• 示例：斐波那契数列的 dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]。

3.3 边界条件（Base Case）

• 初始化最小子问题的解。
• 示例：斐波那契数列中 dp[0] = 0, dp[1] = 1。

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4. 动态规划应用步骤

1. 问题分析
   • 确认问题是否满足最优子结构和重叠子问题特性。
2. 定义状态