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最大比例

题目描述

X 星球的某个大奖赛设了 M 级奖励。每个级别的奖金是一个正整数。

并且，相邻的两个级别间的比例是个固定值。

也就是说：所有级别的奖金数构成了一个等比数列。比如：16,24,36,54，其等比值为：3223​

现在，我们随机调查了一些获奖者的奖金数。

请你据此推算可能的最大的等比值。

输入描述

第一行为数字 NN (0<N<100)(0<N<100)，表示接下的一行包含 NN 个正整数

第二行 NN 个正整数 Xi(Xi<109)Xi​(Xi​<109)，用空格分开。每个整数表示调查到的某人的奖金数额

输出描述

一个形如 A/BA/B 的分数，要求 A、BA、B 互质。表示可能的最大比例系数 测试数据保证了输入格式正确，并且最大比例是存在的。

输入输出样例

示例

输入

3
1250 200 32

输出

25/4

运行限制

• 最大运行时间：3s
• 最大运行内存: 256M

总通过次数: 2623  |  总提交次数: 4233  |  通过率: 62%

难度: 困难   标签: 2016, 贪心, 省赛

算法思路：更相减损术（指数最大公约数法）

本问题要求从给定的奖金序列中推导出等比数列的最大公比（以最简分数表示）。核心思路是利用等比数列的性质：任意两项的比值是公比的整数次幂。通过更相减损术计算这些指数的最大公约数，从而得到最简公比。

算法步骤

1. ​​预处理序列​​：

   • 对输入的奖金序列排序（升序）
   • 去重（重复项不影响公比计算）

2. ​​计算比值序列​​：

   • 对每个元素 a[i]（i≥1），计算 a[i]/a[0] 的最简分数形式
   • 分子存入 up 数组，分母存入 down 数组

3. ​​应用更相减损术​​：

   • ​​分子序列处理​​：base_up = up[0]，遍历 up 数组：base_up = gcd_sub(base_up, up[i])
   • ​​分母序列处理​​：base_down = down[0]，遍历 down 数组：base_down = gcd_sub(base_down, down[i])

4. ​​输出结果​​：base_up/base_down

​​更相减损术原理​​：
若 a = p^x, b = p^y，则 gcd_sub(a, b) = p^{gcd(x,y)}
通过反复执行 a = a/b（当 a≥b）实现指数相减，最终得到底数 p

代码实现（C++）

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;// 最大公约数（欧几里得算法）
LL gcd(LL a, LL b) {return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}// 更相减损术（递归版）
LL gcd_sub(LL a, LL b) {if (a < b) swap(a, b);if (b == 1) return a;    // 指数为0时返回底数if (a == b) return a;    // 指数相等时返回底数return gcd_sub(b, a / b); // 指数相减
}int main() {int n;cin >> n;vector<LL> arr(n);for (int i = 0; i < n; i++) cin >> arr[i];// 1. 排序并去重sort(arr.begin(), arr.end());arr.erase(unique(arr.begin(), arr.end()), arr.end());// 2. 处理单元素序列if (arr.size() == 1) {cout << "1/1" << endl;return 0;}// 3. 计算比值序列vector<LL> up, down;for (int i = 1; i < arr.size(); i++) {LL g = gcd(arr[i], arr[0]);  // 约分up.push_back(arr[i] / g);down.push_back(arr[0] / g);}// 4. 应用更相减损术LL base_up = up[0], base_down = down[0];for (int i = 1; i < up.size(); i++) {base_up = gcd_sub(base_up, up[i]);base_down = gcd_sub(base_down, down[i]);}cout << base_up << "/" << base_down << endl;return 0;
}

代码解析

1. ​​预处理优化​​（L15-20）：

   • sort + unique 去重避免无效计算
   • 单元素序列直接返回 1/1（题目保证有解，实际不会触发）

2. ​​比值计算​​（L23-27）：

   • 对每个 arr[i] 与首项 arr[0] 求最大公约数
   • 约分后存储分子分母：up[i] = arr[i]/g, down[i] = arr[0]/g

3. ​​更相减损术​​（L30-35）：

   • ​​递归终止条件​​：
     • a == b：指数相等，返回底数
     • b == 1：指数为0，返回底数
   • ​​递归过程​​：a/b 实现指数相减

4. ​​复杂度分析​​：

   • 时间：排序 O(n log n) + 更相减损术 O(k log M)（k 为序列长度，M 为数值大小）
   • 空间：O(n) 存储序列

实例验证

样例1：输入 3\n1250 200 32

1. 排序去重：[32, 200, 1250]
2. 比值计算：
   • 200/32 = 25/4 → up=[25], down=[4]
   • 1250/32 = 625/16 → up=[25,625], down=[4,16]
3. 更相减损术：
   • 分子：gcd_sub(25,625) = 25（过程：625/25=25 → 25==25）
   • 分母：gcd_sub(4,16) = 4（过程：16/4=4 → 4==4）
4. 输出：25/4 ✓

样例2：输入 4\n3125 32 32 200

1. 排序去重：[32, 200, 3125]
2. 比值计算：
   • 200/32=25/4 → up=[25], down=[4]
   • 3125/32=3125/32（已最简）→ up=[25,3125], down=[4,32]
3. 更相减损术：
   • 分子：gcd_sub(25,3125)=5（过程：3125/25=125 → gcd_sub(25,125)=5）
   • 分母：gcd_sub(4,32)=2（过程：32/4=8 → gcd_sub(4,8)=2）
4. 输出：5/2 ✓

样例3：输入 3\n549755813888 524288 2

1. 排序去重：[2, 524288, 549755813888]
2. 比值计算：
   • 524288/2=262144/1 → up=[262144], down=[1]
   • 549755813888/2=274877906944/1 → up=[262144,274877906944], down=[1,1]
3. 更相减损术：
   • 分子：gcd_sub(262144,274877906944)=4（过程：递归计算指数最大公约数）
   • 分母：gcd_sub(1,1)=1
4. 输出：4/1 ✓

注意事项

1. ​​整数溢出​​：

   • 使用 long long 存储奖金（Xi < 10^9，但运算中可能产生 10^18 级别中间值）
   • 避免乘法（用除法实现指数相减）

2. ​​边界条件​​：

   • 单元素序列：返回 1/1（题目保证有解，实际不会出现）
   • 全等序列：去重后变单元素序列
   • 大指数处理：更相减损术递归深度为 O(log M)，最大约60层

3. ​​正确性保证​​：

   • 排序后首项为最小值，确保比值 ≥1
   • 每次约分保证分子分母互质
   • 更相减损术依赖等比性质（比值必为整数）

多方位测试点

​​测试类型​​	​​测试数据​​	​​预期输出​​	​​验证要点​​
基础功能	3\n1250 200 32	25/4	常规序列处理
重复项处理	4\n3125 32 32 200	5/2	去重机制
大数运算	3\n549755813888 524288 2	4/1	大数除法与递归深度
两项序列	2\n4 2	2/1	最小序列处理
公比为1	3\n5 5 5	1/1	去重后单元素处理
非整数次幂	3\n8 4 2	2/1	指数最大公约数计算
逆序输入	3\n32 200 1250	25/4	排序稳定性

优化建议

1. ​​迭代替代递归​​：

   // 循环版更相减损术（避免递归栈溢出）
   LL gcd_sub_iter(LL a, LL b) {if (a < b) swap(a, b);while (b != 1 && a != b) {a = a / b;if (a < b) swap(a, b);}return a;
   }

2. ​​并行计算​​：

   // 分子分母序列独立处理，可并行
   #pragma omp parallel sections
   {#pragma omp section{ /* 处理分子序列 */ }#pragma omp section{ /* 处理分母序列 */ }
   }

3. ​​提前终止​​：

   // 当分母序列全为1时提前终止
   if (all_of(down.begin(), down.end(), [](LL x){ return x==1; })) {base_down = 1;
   } else {// 正常处理
   }

4. ​​内存优化​​：

   • 复用数组：up/down 数组可复用为单变量存储
   • 预分配空间：vector::reserve() 避免多次扩容