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堆在解决 Top K 问题（即从海量数据中找出最大或最小的 K 个元素）中非常高效，核心思想是通过维护一个固定大小的堆结构，避免对全部数据进行排序，从而显著降低时间和空间复杂度。
一、Top K 问题的两种场景
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静态数据：数据已全部存储在内存或磁盘中。
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动态数据流：数据持续输入，需要实时维护 Top K 结果。
二、堆的两种应用策略
1. 找最大的 K 个元素 → 最小堆（Min-Heap）
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核心思想：维护一个大小为 K 的最小堆，堆顶是当前 K 个元素中的最小值。
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操作步骤：
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初始化堆：将前 K 个元素直接插入最小堆。
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遍历剩余元素：
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若当前元素 > 堆顶元素（即比当前 K 个中的最小值大）：
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替换堆顶元素。
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从堆顶向下调整（Heapify Down），恢复最小堆性质。
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否则跳过。
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最终结果：堆中所有元素即为最大的 K 个元素。
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时间复杂度：O(n log K)
（每个元素最多进行一次堆调整，调整代价为 O(log K)）
2. 找最小的 K 个元素 → 最大堆（Max-Heap）
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核心思想：维护一个大小为 K 的最大堆，堆顶是当前 K 个元素中的最大值。
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操作步骤：
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初始化堆：将前 K 个元素插入最大堆。
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遍历剩余元素：
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若当前元素 < 堆顶元素（即比当前 K 个中的最大值小）：
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替换堆顶元素。
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从堆顶向下调整（Heapify Down），恢复最大堆性质。
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否则跳过。
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最终结果：堆中所有元素即为最小的 K 个元素。
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时间复杂度：O(n log K)
三、堆解决TOP K的优点：
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空间效率：只需维护大小为 K 的堆，空间复杂度为 O(K)，适用于海量数据。
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时间效率：避免全排序（O(n log n)），只需 O(n log K) 时间。
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动态处理能力：支持数据流场景，逐个处理元素。
四、代码实现 （以找最大的 K 个元素为例）
最小堆的向下调整
// 最小堆的向下调整（维护堆性质）
void minHeapify(int *heap, int k, int i) {int smallest = i; // 当前最小节点int left = 2 * i + 1; // 左子节点int right = 2 * i + 2; // 右子节点// 找到当前节点、左子、右子中的最小值if (left < k && heap[left] < heap[smallest])smallest = left;if (right < k && heap[right] < heap[smallest])smallest = right;// 若最小值不是当前节点，交换并递归调整if (smallest != i) {int temp = heap[i];heap[i] = heap[smallest];heap[smallest] = temp;minHeapify(heap, k, smallest);}
}
用最小堆找出前K大的元素
// 构建最小堆（从最后一个非叶子节点开始调整）
void buildMinHeap(int *heap, int k) {for (int i = k / 2 - 1; i >= 0; i--)minHeapify(heap, k, i);
}// 用最小堆找出最大的K个元素
void findTopK(int *arr, int n, int k) {int *heap = (int *)malloc(k * sizeof(int));// 1. 初始化堆：取前K个元素for (int i = 0; i < k; i++) heap[i] = arr[i];buildMinHeap(heap, k); // 构建最小堆// 2. 遍历剩余元素for (int i = k; i < n; i++) {// 若当前元素比堆顶大，替换并调整if (arr[i] > heap[0]) {heap[0] = arr[i];minHeapify(heap, k, 0);}}// 输出结果printf("最大的 %d 个元素: ", k);for (int i = 0; i < k; i++)printf("%d ", heap[i]);printf("\n");free(heap);
}
五、与其他方法的对比
| 方法 | 时间复杂度 | 空间复杂度 | 适用场景 |
|---|---|---|---|
| 全排序后取前K个 | O(n log n) | O(n) | 小数据量 |
| 快速选择算法 | O(n) 平均 | O(1) | 需要修改原数组 |
| 堆方法 | O(n log K) | O(K) | 海量数据/数据流 |
全排序：简单但低效，适合小数据多次查询。
快速选择：高效平均时间，适合单次查询且可修改数组。
堆方法：平衡时间与空间，适合海量数据或动态数据流。
这里简单实现快速选择的思路（基于快排实现）：
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>// 交换两个元素
void swap(int *a, int *b) {
int temp = *a;
*a = *b;
*b = temp;
}// 分区函数（降序分区）
int partition(int arr[], int left, int right) {
int pivot_idx = left + rand() % (right - left + 1);
int pivot = arr[pivot_idx];
swap(&arr[pivot_idx], &arr[right]); // 将pivot移到末尾
int i = left;
for (int j = left; j < right; j++) {
if (arr[j] >= pivot) {
swap(&arr[i], &arr[j]);
i++;
}
}
swap(&arr[i], &arr[right]); // 将pivot放回正确位置
return i;
}// 快速选择核心逻辑
void quick_select(int arr[], int left, int right, int k) {
if (left >= right) return;
int pos = partition(arr, left, right);
if (pos == k) {
return; // 找到第k大的元素，终止递归
} else if (pos < k) {
quick_select(arr, pos + 1, right, k); // 处理右半部分
} else {
quick_select(arr, left, pos - 1, k); // 处理左半部分
}
}// 快速选择方法解决Top K（最大的K个元素）
void topk_quick_select(int arr[], int n, int k) {
srand(time(NULL));
quick_select(arr, 0, n - 1, k - 1); // 找到第k大的元素的位置
// 输出前k个元素（注意：原数组已被部分修改）
printf("快速选择结果: ");
for (int i = 0; i < k; i++) {
printf("%d ", arr[i]);
}
printf("\n");
}