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动态规划之背包问题详解
背包问题是动态规划领域的核心内容，也是算法竞赛和面试中的常考题型。本文系统性地介绍各类背包问题的解题思路、状态转移方程和优化技巧，帮助读者全面掌握这一重要算法范式。
一、01背包问题
问题描述
有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
核心思想
01背包的核心在于每件物品只有选与不选两种状态，状态转移方程为：
f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j-v[i]] + w[i])
代码实现
二维解法（基础）
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;const int MAXN = 1005;
int f[MAXN][MAXN]; // f[i][j]表示前i件物品放入容量为j的背包的最大价值
int v[MAXN], w[MAXN]; // 体积和价值int main() {int n, m;cin >> n >> m;for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i];for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 0; j <= m; j++) {f[i][j] = f[i-1][j]; // 不选第i件物品if (j >= v[i]) // 能选第i件物品f[i][j] = max(f[i][j], f[i-1][j-v[i]] + w[i]);}}cout << f[n][m];return 0;
}
一维优化（空间优化）
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;const int MAXN = 1005;
int f[MAXN]; // 优化为一维数组
int v[MAXN], w[MAXN];int main() {int n, m;cin >> n >> m;for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i];for (int i = 1; i <= n; i++)for (int j = m; j >= v[i]; j--) // 逆序遍历避免覆盖f[j] = max(f[j], f[j-v[i]] + w[i]);cout << f[m];return 0;
}
关键点
-
逆序遍历保证每个物品只被选取一次
-
状态转移基于前一个状态的值
-
时间复杂度O(NV)，空间复杂度O(V)
二、完全背包问题
问题描述
有 N 种物品和一个容量是 V 的背包，每种物品都有无限件可用。求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
核心思想
与01背包的区别在于物品可以无限次选取，状态转移方程为：
f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i][j-v[i]] + w[i])
代码实现
二维解法
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;const int MAXN = 1005;
int f[MAXN][MAXN];
int v[MAXN], w[MAXN];int main() {int n, m;cin >> n >> m;for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i];for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 0; j <= m; j++) {f[i][j] = f[i-1][j];if (j >= v[i])f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j-v[i]] + w[i]);}}cout << f[n][m];return 0;
}
一维优化
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;const int MAXN = 1005;
int f[MAXN];
int v[MAXN], w[MAXN];int main() {int n, m;cin >> n >> m;for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i];for (int i = 1; i <= n; i++)for (int j = v[i]; j <= m; j++) // 正序遍历允许重复选取f[j] = max(f[j], f[j-v[i]] + w[i]);cout << f[m];return 0;
}
与01背包的区别
-
正序遍历允许物品多次选取
-
状态转移基于当前行而不是上一行
-
时间复杂度仍为O(NV)，但状态转移逻辑不同
三、多重背包问题
问题描述
有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。第 i 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
二进制优化
当物品数量较大时，使用二进制优化将多重背包转化为01背包：
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;const int MAXN = 25000; // 1000*log2000 ≈ 22000
int f[MAXN], v[MAXN], w[MAXN];int main() {int n, m, cnt = 0;cin >> n >> m;// 二进制拆分for (int i = 1; i <= n; i++) {int a, b, s;cin >> a >> b >> s;int k = 1;while (k <= s) {cnt++;v[cnt] = a * k;w[cnt] = b * k;s -= k;k *= 2;}if (s > 0) {cnt++;v[cnt] = a * s;w[cnt] = b * s;}}// 01背包求解for (int i = 1; i <= cnt; i++)for (int j = m; j >= v[i]; j--)f[j] = max(f[j], f[j-v[i]] + w[i]);cout << f[m];return 0;
}
优化原理
-
将数量s拆分为2的幂次之和（1,2,4,...,2^k,s-2^k）
-
每个拆分后的物品视为独立的01背包物品
-
优化时间复杂度从O(NVS)降为O(NVlogS)
四、分组背包问题
问题描述
给定N组物品和一个容量为V的背包。每组物品有若干个，但在同一组内，最多只能选择一件物品。每件物品有其对应的体积和价值。目标是选择物品放入背包，使得总体积不超过背包容量，且总价值最大。
状态转移
f[i][j] = max(f[i-1][j], max_{1≤k≤s_i}(f[i-1][j-v_{ik}] + w_{ik}))
代码实现
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;const int MAXN = 105;
int f[MAXN][MAXN], v[MAXN][MAXN], w[MAXN][MAXN], s[MAXN];int main() {int n, m;cin >> n >> m;for (int i = 1; i <= n; i++) {cin >> s[i];for (int j = 1; j <= s[i]; j++)cin >> v[i][j] >> w[i][j];}for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 0; j <= m; j++) {f[i][j] = f[i-1][j]; // 不选该组任何物品for (int k = 1; k <= s[i]; k++) {if (j >= v[i][k])f[i][j] = max(f[i][j], f[i-1][j-v[i][k]] + w[i][k]);}}}cout << f[n][m];return 0;
}
优化技巧
-
使用一维数组优化空间
-
每组内部循环放在最内层
-
逆序遍历背包容量
五、二维费用背包问题
问题特点
背包限制条件从单一容量变为两个维度（如重量和体积、金钱和时间等）
潜水员问题
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;const int MAXM = 85, MAXN = 25;
int f[MAXM][MAXN]; // f[j][k]: 氧气至少j，氮气至少k的最小重量
int O2[MAXN], N2[MAXN], W[MAXN];int main() {int m, n, k;cin >> m >> n >> k;memset(f, 0x3f, sizeof f);f[0][0] = 0;for (int i = 1; i <= k; i++)cin >> O2[i] >> N2[i] >> W[i];for (int i = 1; i <= k; i++) {for (int j = m; j >= 0; j--) {for (int k = n; k >= 0; k--) {int nj = max(0, j - O2[i]);int nk = max(0, k - N2[i]);f[j][k] = min(f[j][k], f[nj][nk] + W[i]);}}}cout << f[m][n];return 0;
}
宠物小精灵收服
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;const int MAXM = 505, MAXN = 1005;
int f[MAXN][MAXM]; // f[j][k]: 使用j个球，消耗k体力的最大收服数
int balls[MAXN], damage[MAXM];int main() {int n, m, k;cin >> n >> m >> k;m--; // 保留1点体力for (int i = 1; i <= k; i++)cin >> balls[i] >> damage[i];for (int i = 1; i <= k; i++) {for (int j = n; j >= balls[i]; j--) {for (int k = m; k >= damage[i]; k--) {f[j][k] = max(f[j][k], f[j-balls[i]][k-damage[i]] + 1);}}}int max_catch = f[n][m], min_damage = 0;for (int k = 0; k <= m; k++) {if (f[n][k] == max_catch) {min_damage = k;break;}}cout << max_catch << " " << m + 1 - min_damage;return 0;
}
六、混合背包问题
问题描述
混合背包结合了01背包、完全背包和多重背包，需要根据物品类型选择不同的处理策略。
通用解法
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;const int MAXM = 205;
int dp[MAXM];// 01背包处理
void zeroOnePack(int weight, int value, int capacity) {for (int j = capacity; j >= weight; j--)dp[j] = max(dp[j], dp[j-weight] + value);
}// 完全背包处理
void completePack(int weight, int value, int capacity) {for (int j = weight; j <= capacity; j++)dp[j] = max(dp[j], dp[j-weight] + value);
}// 多重背包处理（二进制优化）
void multiplePack(int weight, int value, int count, int capacity) {if (weight * count >= capacity) {completePack(weight, value, capacity);return;}int k = 1;while (k < count) {zeroOnePack(k*weight, k*value, capacity);count -= k;k *= 2;}zeroOnePack(count*weight, count*value, capacity);
}int main() {int m, n;cin >> m >> n;for (int i = 0; i < n; i++) {int w, v, s;cin >> w >> v >> s;if (s == 0) completePack(w, v, m);else if (s == 1) zeroOnePack(w, v, m);else multiplePack(w, v, s, m);}cout << dp[m];return 0;
}
七、有依赖的背包问题
金明的预算方案
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;const int MAXN = 32005;
int main_w[65], main_v[65];
int annex_w[65][3], annex_v[65][3];
int f[MAXN];int main() {int n, m;cin >> n >> m;for (int i = 1; i <= m; i++) {int v, p, q;cin >> v >> p >> q;if (!q) {main_w[i] = v;main_v[i] = v * p;} else {annex_w[q][0]++;annex_w[q][annex_w[q][0]] = v;annex_v[q][annex_w[q][0]] = v * p;}}for (int i = 1; i <= m; i++) {if (!main_w[i]) continue;for (int j = n; j >= main_w[i]; j--) {// 只选主件f[j] = max(f[j], f[j-main_w[i]] + main_v[i]);// 主件+附件1if (j >= main_w[i] + annex_w[i][1])f[j] = max(f[j], f[j-main_w[i]-annex_w[i][1]] + main_v[i] + annex_v[i][1]);// 主件+附件2if (j >= main_w[i] + annex_w[i][2])f[j] = max(f[j], f[j-main_w[i]-annex_w[i][2]] + main_v[i] + annex_v[i][2]);// 主件+附件1+附件2if (j >= main_w[i] + annex_w[i][1] + annex_w[i][2])f[j] = max(f[j], f[j-main_w[i]-annex_w[i][1]-annex_w[i][2]] + main_v[i] + annex_v[i][1] + annex_v[i][2]);}}cout << f[n];return 0;
}
八、总结与拓展
1.背包问题通用解法框架
-
定义状态：明确dp数组的含义
-
初始化状态：处理边界条件
-
状态转移：根据问题类型选择合适的转移方程
-
确定结果：找到最终状态对应的解
2.优化技巧对比
| 问题类型 | 空间优化 | 时间优化 | 特殊技巧 |
|---|---|---|---|
| 01背包 | 逆序一维 | 无 | 无 |
| 完全背包 | 正序一维 | 无 | 无 |
| 多重背包 | 一维 | 二进制拆分 | 单调队列优化 |
| 分组背包 | 一维 | 无 | 组内循环 |
| 二维费用 | 二维 | 无 | 两个限制条件 |
| 混合背包 | 一维 | 无 | 分类处理 |
| 依赖背包 | 一维 | 无 | 主附件组合 |
3.实际应用场景
-
资源分配问题
-
投资组合优化
-
生产计划制定
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货物装载优化
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时间管理调度