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目录
1.程序功能描述
2.测试软件版本以及运行结果展示
3.部分程序
4.算法理论概述
4.1 Split-Bregman算法原理与实现
4.2 GRSR（广义平滑重构）算法原理与实现
5.参考文献
6.完整程序
1.程序功能描述
基于split-Bregman算法的L1正则化,对比GRSR算法,通过matlab对比split-Bregman算法和GRSR算法的性能指标。
2.测试软件版本以及运行结果展示
MATLAB2022A/MATLAB2024B版本运行
3.部分程序
for ij = 1:20
ij
load('vmeas_5%noise.mat');%实现L1正则化（split-Bregman）
load A.mat
x = rand(1309,1)*1e-5;
y = A*x;
yn = y + vmeas*ij;%设置噪声大小ij
[y] = func_L1_split_Bregman(yn,10,1,0.0001);%指标计算
resErr=norm(A*x-y,2);%PSNR
[PSNR,MSE] = psnr(A*x,y);resErrs(ij)=resErr;
PSNRs(ij)=PSNR;
MSEs(ij)=MSE;end
41_001m4.算法理论概述
4.1 Split-Bregman算法原理与实现
Split-Bregman算法的核心思想是通过变量分裂将复杂的L1正则化问题转化为多个可解析求解的子问题，并利用Bregman迭代处理非光滑的L1范数。其理论基础是将原问题改写为：
通过引入辅助变量d，将x的稀疏约束转移到d上，再通过Bregman迭代处理等式约束d=x。Bregman迭代的本质是通过引入松弛变量和惩罚项，将约束优化问题转化为无约束问题。
算法流程图
4.2 GRSR（广义平滑重构）算法原理与实现
GRSR（Generalized Smoothing Reconstruction）算法基于梯度投影法，通过迭代更新解向量并结合连续化（continuation）策略处理L1正则化问题。其核心思想是将L1范数视为分段线性函数，通过梯度信息引导解的更新，并利用线搜索确定最优步长，同时通过连续化策略从宽松到严格调整正则化参数，提升算法收敛性。
算法流程图
| 特性 | Split-Bregman 算法 | GRSR 算法 |
|---|---|---|
| 核心思想 | 变量分裂 + Bregman 迭代 | 梯度投影 + 连续化策略 |
| 约束处理 | 通过分裂变量转化为无约束问题 | 直接处理 L1 范数的非光滑性 |
| 收敛性 | 线性收敛，依赖惩罚参数调整 | 依赖线搜索和连续化，收敛速度受初始值影响 |
| 适用场景 | 大规模稀疏问题，尤其是可分离变量的优化问题 | 信号重构、压缩感知，对初始解敏感的场景 |
Split-Bregman和GRSR算法分别代表了L1正则化问题的两类主流解法：前者通过变量分裂和 Bregman 迭代将问题分解为可解析求解的子问题，适合大规模稀疏优化；后者基于梯度投影和连续化策略，对复杂场景的适应性更强。实际应用中，可根据问题规模、稀疏性先验和计算资源选择算法，或结合两者优势设计混合算法（如将Split-Bregman用于初始化，GRSR用于精细化优化）。
5.参考文献
[1]刘亚楠,余景景,秦晓伟,等.Split Bregman迭代算法生物发光断层成像[J].中国科学:信息科学, 2014, 44(2):284-294.DOI:10.1360/112013-51.
6.完整程序
VVV