【AI】数学基础之矩阵
线性代数中的矩阵概念和计算公式非常核心且广泛应用，以下从基础概念、计算公式到具体例子，系统梳理：
一、矩阵的基本概念
矩阵（Matrix） 是一个按照长方形排列的数表，通常用大写字母表示，如 ( A )。一个 ( m \times n ) 的矩阵有 ( m ) 行 ( n ) 列：
[
A = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn}
\end{bmatrix}
]
其中 ( a_{ij} ) 表示第 ( i ) 行第 ( j ) 列的元素。
二、常见矩阵类型
| 类型 | 定义说明 |
|---|---|
| 方阵 | 行数 = 列数（如 ( 3 \times 3 )） |
| 零矩阵 | 所有元素为 0 |
| 单位矩阵 ( I ) | 主对角线为 1，其余为 0（如 ( I_3 = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0\0 & 1 & 0\0 & 0 & 1\end{bmatrix} )） |
| 对角矩阵 | 非对角线元素全为 0 |
| 对称矩阵 | ( A = A^T )（转置等于自身） |
| 可逆矩阵 | 存在矩阵 ( B ) 使得 ( AB = BA = I ) |
三、矩阵的基本运算与公式
1. 矩阵加法（同维度）
[
A + B = [a_{ij} + b_{ij}]
]
例子：
[
\begin{bmatrix}1 & 2\3 & 4\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}5 & 6\7 & 8\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}6 & 8\10 & 12\end{bmatrix}
]
2. 矩阵数乘
[
kA = [k \cdot a_{ij}]
]
例子：
[
3 \cdot \begin{bmatrix}1 & 2\3 & 4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3 & 6\9 & 12\end{bmatrix}
]
3. 矩阵乘法（维度匹配：( A ) 是 ( m \times n )，( B ) 是 ( n \times p )）
[
(AB){ij} = \sum{k=1}^n a_{ik} b_{kj}
]
例子：
[
A = \begin{bmatrix}1 & 2\3 & 4\end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix}5 & 6\7 & 8\end{bmatrix}
]
[
AB = \begin{bmatrix}
1 \cdot 5 + 2 \cdot 7 & 1 \cdot 6 + 2 \cdot 8 \
3 \cdot 5 + 4 \cdot 7 & 3 \cdot 6 + 4 \cdot 8
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}19 & 22\43 & 50\end{bmatrix}
]
4. 矩阵转置
[
(A^T){ij} = a{ji}
]
例子：
[
A = \begin{bmatrix}1 & 2 & 3\4 & 5 & 6\end{bmatrix}, \quad A^T = \begin{bmatrix}1 & 4\2 & 5\3 & 6\end{bmatrix}
]
5. 矩阵的逆（仅方阵且行列式非零）
若 ( A ) 可逆，则存在 ( A^{-1} ) 使得：
[
A A^{-1} = A^{-1} A = I
]
2×2 矩阵求逆公式：
[
A = \begin{bmatrix}a & b\c & d\end{bmatrix}, \quad A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix}d & -b\-c & a\end{bmatrix}
]
例子：
[
A = \begin{bmatrix}1 & 2\3 & 4\end{bmatrix}, \quad \det(A) = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = -2
]
[
A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{bmatrix}4 & -2\-3 & 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-2 & 1\1.5 & -0.5\end{bmatrix}
]
6. 行列式（Determinant）
- 对于 ( 2 \times 2 ) 矩阵：
[
\det\begin{bmatrix}a & b\c & d\end{bmatrix} = ad - bc
]
- 对于 ( 3 \times 3 ) 矩阵（按第一行展开）：
[
\det\begin{bmatrix}
a & b & c \
d & e & f \
g & h & i
\end{bmatrix}
= a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
]
四、应用举例：解线性方程组
问题： 解方程组：
[
\begin{cases}
x + 2y = 5 \
3x + 4y = 6
\end{cases}
]
矩阵形式： ( A\vec{x} = \vec{b} )
[
A = \begin{bmatrix}1 & 2\3 & 4\end{bmatrix}, \quad \vec{x} = \begin{bmatrix}x\y\end{bmatrix}, \quad \vec{b} = \begin{bmatrix}5\6\end{bmatrix}
]
解法： ( \vec{x} = A^{-1} \vec{b} )
我们已算出：
[
A^{-1} = \begin{bmatrix}-2 & 1\1.5 & -0.5\end{bmatrix}
]
[
\vec{x} = \begin{bmatrix}-2 & 1\1.5 & -0.5\end{bmatrix} \begin{bmatrix}5\6\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}-2 \cdot 5 + 1 \cdot 6\1.5 \cdot 5 - 0.5 \cdot 6\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}-4\4.5\end{bmatrix}
]
解得： ( x = -4, \quad y = 4.5 )
五、总结
| 概念/运算 | 关键公式/性质 |
|---|---|
| 矩阵乘法 | ( (AB){ij} = \sum_k a{ik} b_{kj} ) |
| 逆矩阵 | ( A^{-1} A = I )，仅当 ( \det A \ne 0 ) |
| 行列式 | 判断可逆性，计算体积缩放因子 |
| 转置 | ( (A^T){ij} = a{ji} ) |
| 线性方程组 | ( A\vec{x} = \vec{b} \Rightarrow \vec{x} = A^{-1} \vec{b} )（若可逆） |