Jeffreys先验：贝叶斯统计中的不变性无信息先验
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1. 引言与历史背景
Jeffreys先验是贝叶斯统计学中一种重要的无信息先验（noninformative prior），由英国数学家、统计学家和地球物理学家哈罗德·杰弗里斯爵士（Sir Harold Jeffreys）在其1939年的开创性著作《概率理论》（Theory of Probability）中提出。这一方法在贝叶斯统计的复兴中起到了至关重要的作用，特别是在处理缺乏先验信息的参数估计问题时。
哈罗德·杰弗里斯（1891-1989）是一位多产的科学家，他在数学、地球物理和统计学等多个领域做出了卓越贡献。他的Jeffreys先验解决了均匀先验分布在参数变换下缺乏不变性的问题，成为贝叶斯分析中最经典的方法之一。
🔍 有趣的事实：杰弗里斯不仅是一位杰出的统计学家，还是一位著名的地球物理学家，他通过地震学分析发现了地核具有流体性质！
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2. Jeffreys先验的数学基础
2.1 核心概念与公式
Jeffreys先验的核心思想是创建一个在参数重新参数化下保持形式不变的先验分布。其数学定义基于Fisher信息矩阵：
π(θ)∝detI(θ)\pi(\theta) \propto \sqrt{\det I(\theta)} π(θ)∝detI(θ)
其中，I(θ)I(\theta)I(θ) 是Fisher信息矩阵，定义为：
I(θ)=−E[∂2logL(θ)∂θ2]I(\theta) = - \mathbb{E}\left[\frac{\partial^2 \log L(\theta)}{\partial \theta^2}\right] I(θ)=−E[∂θ2∂2logL(θ)]
这里，L(θ)L(\theta)L(θ) 是似然函数，期望是对观测数据取的。
2.2 Fisher信息矩阵的直观解释
Fisher信息矩阵衡量了关于参数θ\thetaθ的信息量。直观上：
- Fisher信息越大，表示数据对参数提供的信息越多，因此先验应该赋予该参数区域更小的权重
- Fisher信息越小，表示数据对参数提供的信息越少，先验应该赋予更大的权重
Jeffreys先验正好符合这一直觉：π(θ)∝I(θ)\pi(\theta) \propto \sqrt{I(\theta)}π(θ)∝I(θ)。
2.3 不变性性质
Jeffreys先验的关键优势在于其参数化不变性。如果我们将参数θ\thetaθ变换为ϕ=g(θ)\phi = g(\theta)ϕ=g(θ)，其中ggg是一一映射，那么：
π(ϕ)=π(θ)∣dθdϕ∣\pi(\phi) = \pi(\theta) \left | \frac{d\theta}{d\phi} \right | π(ϕ)=π(θ)dϕdθ
这确保了推断结果不依赖于参数的具体表示形式。
3. 常见分布下的Jeffreys先验
Jeffreys先验对于不同概率分布有不同的具体形式。以下是几种常见分布的情况：
| 分布类型 | 参数 | Jeffreys先验 | 性质 |
|---|---|---|---|
| 正态分布 | 均值μ（方差σ²已知） | π(μ)∝1\pi(\mu) \propto 1π(μ)∝1 | 均匀分布 |
| 正态分布 | 方差σ²（均值μ已知） | π(σ2)∝1/σ2\pi(\sigma^2) \propto 1/\sigma^2π(σ2)∝1/σ2 | 尺度不变 |
| 伯努利分布 | 成功概率p | π(p)∝p−1/2(1−p)−1/2\pi(p) \propto p^{-1/2}(1-p)^{-1/2}π(p)∝p−1/2(1−p)−1/2 | Beta(1/2, 1/2) |
| 泊松分布 | 率参数λ | π(λ)∝λ−1/2\pi(\lambda) \propto \lambda^{-1/2}π(λ)∝λ−1/2 | Gamma(1/2, 0) |
📚 研究进展：研究表明，对于常见的九种概率分布，Jeffreys先验产生的后验分布通常属于参数的共轭分布族，这简化了后验计算。
4. Jeffreys先验在机器学习中的应用
4.1 贝叶斯线性回归
在贝叶斯线性回归中，Jeffreys先验可以用于处理参数的无信息先验。考虑模型：
y=Xβ+ϵ,ϵ∼N(0,σ2I)y = X\beta + \epsilon, \quad \epsilon \sim N(0, \sigma^2 I) y=Xβ+ϵ,ϵ∼N(0,σ2I)
使用Jeffreys先验 π(β,σ2)∝1/σ2\pi(\beta, \sigma^2) \propto 1/\sigma^2π(β,σ2)∝1/σ2，可以得到解析的后验分布。
4.2 小样本学习与客观贝叶斯分析
在医疗卫生、金融证券等领域，经常会遇到小样本同时出现零观测值和一观测值较多的情况。针对这类数据，0-1膨胀二项分布模型结合Jeffreys先验可以进行有效的客观贝叶斯分析。
4.3 竞争失效模型
在可靠性工程中，当缺乏历史数据且样本量小时，传统的竞争失效模型参数估计效果一般。Jeffreys先验与Reference先验结合，可以提高小样本情况下参数估计的准确性。
5. 优势与局限性
5.1 优势
- 参数化不变性：不依赖于参数的具体表示形式
- 客观性：提供了一种"无信息"的基准先验
- 理论优雅：与信息几何有深刻联系
- 广泛适用性：适用于多种统计模型
5.2 局限性
- 可能产生不当后验：在某些情况下可能导致后验分布不可积
- 多维参数问题：对于多维参数，Jeffreys先验可能不是最优选择
- 计算复杂性：对于复杂模型，Fisher信息矩阵的计算可能很困难
6. 扩展与变体
针对Jeffreys先验的局限性，统计学家提出了多种改进方法：
- Reference先验：Berger和Bernardo提出的方法，更好地处理多参数情况
- 概率匹配先验：确保后验推断的频率性质良好
- 最大熵先验：从信息论角度寻求最不确定的先验
7. 结语
Jeffreys先验作为贝叶斯统计学中最经典的无信息先验之一，至今仍在机器学习、统计推断和诸多应用领域中发挥着重要作用。它的核心价值在于提供了一种客观、不变的基准方法，特别是在缺乏先验信息的情况下。
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