专业做网站排名的人北京搜索引擎推广服务

二维

有n件物品和一个最多能背重量为w的背包。第i件物品的重量是w[i]，得到的价值是v[i]。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

1.确定dp数组以及下标的含义：

dp[i][j]表示从下标为[0~i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，能得到最大的价值。

2.确定递推公式：

对于dp[i][j]有两种情况：放物品i；不放物品i。

如果不放物品i，dp[i][j]=dp[i-1][j]；

如果放物品i，那么背包要先留出物品i的容量，背包容量变为j-w[i]，所以dp[i][j]=dp[i-1][j-w[i]]+v[i]。

所以递推公式：。

3.初始化：

首先如果背包容量j为0的话，背包价值一定为0，也就是dp[i][0]=0。

由递推公式可以看出i是由i-1推导出来的，那么i为0的时候就一定要初始化。所以当j<w[0]时，dp[0][j]=0；当j>=w[0]时，dp[0][j]=v[0]。

for (int i = 1; i < w.length; i++) {  // 当然这一步，如果把dp数组预先初始化为0了，这一步就可以省略dp[i][0] = 0;
}
for (int j = w[0]; j <= bagweight; j++) {dp[0][j] = v[0];
}

4.确定遍历顺序：

有两个维度的遍历：物品与背包重量。

先遍历物品，然后再遍历背包重量：

for (int i = 1; i < n; i++) {for (int j = 0; j <= bagweight; j++) {if (j < weight[i]) {dp[i][j] = dp[i - 1][j];} else {dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);}}}

5.举例推导dp数组：

 

一维

1.确定dp数组以及下标的含义：

dp[j]表示容量为j的背包所背的物品价值最大可以为dp[j] 。

2.确定递推公式：

二维dp数组的递推公式为：。可以发现如果把dp[i-1]那一层拷贝到dp[i]上，表达式完全可以是：

所以可以把i这个维度去掉，也就是：。

3.初始化：默认都初始化为0即可。

4.确定遍历顺序：

先遍历物品，再遍历背包容量：

for (int i = 0; i < n ; i++) {for (int j = bagweight ; j >= w[i]; j--) {dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i]);}}

这里可以看出，一维dp遍历背包是从大到小遍历的，这和二维dp遍历不同，为什么？

如果背包正序遍历，物品i可能被放入多次。

比如：物品0的重量weight[0] = 1，价值value[0] = 15，如果正序遍历：

dp[1] = dp[1 - w[0]] + v[0] = 15

dp[2] = dp[2 - w[0]] + v[0] = 30

那么物品0就被放入了两次，所以不能正序遍历。

而倒序遍历：

dp[2] = dp[2 - w[0]] + v[0] = 15 （dp数组已经都初始化为0）

dp[1] = dp[1 - w[0]] + v[0] = 15

这样就能保证每种物品只取一次。

而二维dp遍历不需要倒序是因为dp[i][j]都是通过上一层dp[i-1][j]计算而来的，本层的dp[i][j]是不会被覆盖的。

5.举例推导dp数组：还是之前的例子

LeetCode 416 分割等和子集

题目链接： 416. 分割等和子集 - 力扣（LeetCode）

给你一个 只包含正整数 的 非空 数组 nums 。请你判断是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

示例 1：

输入：nums = [1,5,11,5]
输出：true
解释：数组可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11] 。
示例 2：

输入：nums = [1,2,3,5]
输出：false
解释：数组不能分割成两个元素和相等的子集。

首先求出nums数组的元素和ans，如果ans为奇数，直接返回false即可。 

 nums数组相当于0/1背包问题中的容量数组和价值数组，判断能否将nums数组分割成链各个元素和相等的自己，那就相当于判断能否将容量为ans/2的背包装满。

因为容量和价值是相等的，所以最后容量为ans/2的背包的最大价值为ans/2，说明能装满，返回true，否则返回false。本质和0/1背包问题是一样的。

代码如下：

class Solution {public boolean canPartition(int[] nums) {int ans=0;int n=nums.length;for(int i=0;i<n;i++)ans+=nums[i];if(ans%2==1)return false;int[] dp=new int[ans/2+1];for(int i=0;i<n;i++){for(int j=ans/2;j>=nums[i];j--){dp[j]=Math.max(dp[j],dp[j-nums[i]]+nums[i]);}}if(dp[ans/2]==ans/2)return true;else return false;}
}