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线性代数核心概念：代数余子式详解与应用

1. 引言：降维打击的数学思想

在线性代数中，代数余子式 (Cofactor) 是一个至关重要的概念，它提供了一种将高阶行列式计算转化为多个低阶行列式计算的方法。这种"降维打击"的思想，使得复杂问题的求解变得简单而系统。本文将详细解释代数余子式的概念、计算方法及其在线性代数中的应用。

2. 前置知识：余子式

在理解代数余子式之前，我们必须先了解余子式 (Minor) 的概念。

2.1 余子式的定义

对于一个 n 阶方阵 A，元素 $a_{ij}$ 的余子式 $M_{ij}$ 是指：将矩阵 A 的第 i 行和第 j 列全部划去后，剩下的 (n-1) 阶元素按原顺序排列构成的新方阵的行列式。

2.2 余子式计算示例

给定一个 3 阶矩阵 A：
$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right]$$

• 元素 $a_{11}=1$ 的余子式：
  $$M_{11}=\det \left(\left[\begin{array}{cc}5& 6\\ 8& 9\end{array}\right]\right)=(5\times 9)-(6\times 8)=45-48=-3$$

• 元素 $a_{23}=6$ 的余子式：
  $$M_{23}=\det \left(\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 7& 8\end{array}\right]\right)=(1\times 8)-(2\times 7)=8-14=-6$$

3. 代数余子式的定义与计算

3.1 代数余子式的定义

元素 $a_{ij}$ 的代数余子式 $C_{ij}$ 是其余子式 $M_{ij}$ 乘以一个由行列位置决定的符号 $(-1{)}^{i+j}$：

$$C_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$$

3.2 符号规律

符号项 $(-1{)}^{i+j}$ 形成"棋盘格"式分布：

• 当 i + j 为偶数时：$(-1{)}^{i+j}=+1$，即 $C_{ij}=M_{ij}$
• 当 i + j 为奇数时：$(-1{)}^{i+j}=-1$，即 $C_{ij}=-M_{ij}$

3.3 计算示例

继续使用前面的矩阵 A：

• $a_{11}=1$ 的代数余子式：
  $$C_{11}=(-1{)}^{1+1}{M}_{11}=(+1)\times (-3)=-3$$

• $a_{23}=6$ 的代数余子式：
  $$C_{23}=(-1{)}^{2+3}{M}_{23}=(-1)\times (-6)=+6$$

4. 代数余子式的核心应用：行列式展开

4.1 行列式展开定理

行列式可以按其任意一行或任意一列展开：

• 按第 i 行展开：
  $$\det (A)=a_{i1}{C}_{i1}+a_{i2}{C}_{i2}+\cdots +a_{in}{C}_{in}=\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{C}_{ij}$$

• 按第 j 列展开：
  $$\det (A)=a_{1j}{C}_{1j}+a_{2j}{C}_{2j}+\cdots +a_{nj}{C}_{nj}=\sum _{i=1}^n{a}_{ij}{C}_{ij}$$

4.2 应用技巧

选择零元素较多的行或列展开，可以大大减少计算量，因为 0 × C_ij = 0，该项可直接忽略。

4.3 计算示例

计算矩阵 A 的行列式（按第一行展开）：
$$\det (A)=a_{11}{C}_{11}+a_{12}{C}_{12}+a_{13}{C}_{13}$$

已知：

• $a_{11}=1$, $C_{11}=-3$
• $a_{12}=2$, 需要计算 $C_{12}$
• $a_{13}=3$, 需要计算 $C_{13}$

计算 $C_{12}$：
$$C_{12}=(-1{)}^{1+2}{M}_{12}=(-1)\times \det \left(\left[\begin{array}{cc}4& 6\\ 7& 9\end{array}\right]\right)=(-1)\times (36-42)=6$$

计算 $C_{13}$：
$$C_{13}=(-1{)}^{1+3}{M}_{13}=(+1)\times \det \left(\left[\begin{array}{cc}4& 5\\ 7& 8\end{array}\right]\right)=(+1)\times (32-35)=-3$$

代入公式：
$$\det (A)=(1\times -3)+(2\times 6)+(3\times -3)=-3+12-9=0$$

因此，矩阵 A 的行列式为 0，它是一个奇异矩阵。

5. 高级应用：伴随矩阵与逆矩阵

5.1 伴随矩阵

矩阵 A 的伴随矩阵 $\text{adj}(A)$ 定义如下：

1. 将 A 中每个元素 $a_{ij}$ 替换为其代数余子式 $C_{ij}$
2. 对得到的新矩阵进行转置操作

用公式表示为：
$$\text{adj}(A)=\left[\begin{array}{cccc}{C}_{11}& C_{21}& \cdots & C_{n1}\\ C_{12}& C_{22}& \cdots & C_{n2}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ C_{1n}& C_{2n}& \cdots & C_{nn}\end{array}\right]$$

5.2 求逆矩阵公式

如果矩阵 A 可逆（即 $\det (A)\ne 0$），则其逆矩阵 $A^{-1}$ 可通过伴随矩阵求得：

$$A^{-1}=\frac{1}{\det (A)}\text{adj}(A)$$

这一公式在理论推导中极为重要，揭示了逆矩阵、行列式和代数余子式之间的深刻联系。

6. 总结

概念	定义/计算	目的与意义
余子式 $M_{ij}$	划去第 i 行第 j 列后，剩余矩阵的行列式	构建代数余子式的基础
代数余子式 $C_{ij}$	$C_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$	1. 用于行列式的按行/列展开 2. 用于构建伴随矩阵
伴随矩阵 $\text{adj}(A)$	由代数余子式构成并转置	连接行列式和逆矩阵的桥梁
行列式 $\det (A)$	$\det (A)={\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}{C}_{ij}$ (按行展开)	判断矩阵可逆性、衡量线性变换缩放比例