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b树，b+树，红黑树

news 2025/10/12 7:35:18

一、B树

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1.特点

平衡，有序，多路
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2. 查找

访问节点在硬盘上进行，节点内查找在内存上进行，树高就是读取硬盘的次数。
每个节点里的数据是有序的（查找时可以顺序查找或者二分查找）
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3. 插入

先查找到插入的位置进行插入，如果没有上溢出，无需调整
如果有，则否则中间元素 $⌈m2⌉\left\lceil \frac{m}{2} \right\rceil$ 上移，左右两边分裂
（直到没有上溢出为止)

插入，无上溢出：
例子插入20：

原来的树
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有上溢出则中间节点上移到父亲节点，两边节点往两边分裂：
例子插入53：

4. 构建

1，5，7，4，16，35，24，42，21，17 ，18构造的B树如下：
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5. 删除

删除时可能出现下溢出，即节点内数据少于最小个数 $⌈m2⌉−1\left\lceil \frac{m}{2} \right\rceil-1$

删除非叶子节点
例子：删除45
叶子节点：直接删除
删除非叶子节点出现下溢出
例子：删除68后下溢出，则看兄弟是否够够借
假如借左兄弟的，则父下来，兄上去
如果删除后，兄弟不够借的情况：
例子：删除86，只剩下83了，左右两边不够借

合并，父下移左，然后右并过来，结果如下：
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二、B+树

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1.特点：

m个分支m个元素
非叶子节点对应孩子节点的对大值，存储的都是叶子节点的关键字，相当于是索引的索引，所以是多级索引结构

2. B+树的叶子节点：

叶子包含了所有元素
叶子从小到大排列，节点之间通过指针链接成链表结构，可以通过头指针快速对节点顺序遍历，不用像B树那样通过中序顺序遍历
B+树常用作数据库的索引
- InnoDB 引擎（聚簇索引 为主）：叶子节点存储的是直接存储整行数据，即该索引键对应的完整记录。二级索引（如普通索引、唯一索引）的叶子节点：不存整行数据，只存储对应的主键值，查询时需通过主键值回表（到聚簇索引）获取完整数据。
- MyISAM 引擎（非聚簇索引）
  无论主键索引还是二级索引，叶子节点都不存整行数据，只存储数据在物理文件中的地址（偏移量），查询时需通过地址去数据文件中读取完整记录

叶子内的元素叫作关键字
数据库中的某个记录（就是表中的每一行）。
b+树和数据库表都存在硬盘

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3. 解释MyISAM中的索引（非聚簇索引）

MyISAM 引擎的索引与 InnoDB 有本质区别：数据和索引完全分离存储（数据存在.MYD文件，索引存在.MYI文件），且无论主键索引还是二级索引，叶子节点都只存储数据在物理文件中的地址（偏移量），而非完整数据或主键值。
特点：

所有索引（主键索引、二级索引）都是 “非聚簇索引”，索引与数据分开存储；
索引的叶子节点不存数据本身，只存数据记录在.MYD文件中的物理地址（类似指针，指向数据的具体位置）；
主键索引和二级索引的结构逻辑一致，区别仅在于 “索引关键字” 不同（主键字段 vs 二级索引字段）。
如下图：

举例子解释：

二级索引与主键索引的查找逻辑一摸一样，只是存储的是二级索引的关键字和地址

4. 解释InnoDB中的索引（MySQL）：

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5. MyISAM和InnoDB的索引区别

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6. 查找

B+树的查找最终都落在叶子节点上，因为只有叶子节点存储的才是记录。

顺序查找：直接顺序遍历叶子的链表
随机查找：通过root指针逐层对比大小向下查找，对比过程是先和节点内的第一个比较（最小值），比它大则在节点内继续比较，比它小则往下面的左子树比较，log级别的复杂度
范围查找
比如查找1-0~50，先找最小值10，发现不存在，最小值就是14，然后从14开始顺序遍历链表，直到找到45

三、B树和B+树的对比

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四、红黑树

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红黑树是一个二叉搜索树，它和AVL树一样，都是对二叉搜索树进行了平衡，只是平衡的策略不同。

1. 特点

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2. 插入

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插入规则：
![在这里插入图片描述](https://i-blog.csdnimg.cn/direct/70d7594c91744b91a87c72d64dc2a09b.png

例子：插入节点叔叔是红色
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插入后：
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例子2：插入节点叔叔是黑色
插入前：
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插入后：
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构建例子：
注意：插入顺序不同，构造的红黑树通常不一样
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3. 与AVL树对比

**查询：**时间复杂度都是O（logN），红黑树小于AVL树（因为AVL树高度差不超过1，红黑树不超过两倍，即AVL树平衡要求更严格，所以红黑树查询效率更慢）
插入删除：红黑树更好（因为AVL平衡性更严格，所以旋转次数更多）

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红黑树和AVL树都是自平衡二叉搜索树（即满足“左子树值≤根节点值≤右子树值”的特性，同时通过旋转维持平衡），但两者的平衡策略和适用场景有显著差异。以下先明确红黑树的核心特性，再从多个维度对比两者的区别。

对比维度	红黑树	AVL树
平衡策略	通过“颜色规则+黑高一致”维持近似平衡（最长路径≤最短路径×2）	通过“平衡因子”维持严格平衡（左右子树高度差≤1）
旋转操作频率	插入最多需2次旋转，删除最多需3次旋转（旋转少）	插入/删除可能需要多次旋转（因需严格维持高度差）
空间开销	只需存储一个“颜色”标记（额外空间少）	需要存储“平衡因子”或“高度”（额外空间更多）
查找效率	略低（树高略大，最坏O(log n)，但常数因子小）	更高（树高更矮，严格平衡，最坏O(log n)）
插入/删除效率	更高（旋转少，维护成本低）	更低（旋转频繁，维护成本高）
适用场景	插入/删除频繁的场景，如Java中HashMap，TreeMap，TreeSet	查询操作远多于插入/删除的场景（如静态数据索引）