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MATLAB 代码实现了一个基于物理信息神经网络（Physics-Informed Neural Network, PINN）的高阶偏微分方程（梁振动方程）求解器。以下是详细分析：
一、主要功能
main.m 是主程序，负责：
- 设置问题参数（梁长
L、时间T、训练点数量等）； - 生成训练数据（PDE 残差点、初始条件点、边界条件点）；
- 构建神经网络结构；
- 训练神经网络；
- 预测解并可视化结果（与解析解比较、误差分析）。
modelLoss.m 是自定义损失函数，用于：
- 计算 PDE 残差、初始条件残差、边界条件残差；
- 使用自动微分（
dlgradient）计算高阶导数； - 加权组合各项损失，并返回总损失和梯度。
二、逻辑关联
main.m调用modelLoss.m在训练过程中计算损失和梯度。modelLoss.m中定义的损失函数包含了物理方程（PDE）、初始条件（IC）和边界条件（BC）的约束，确保神经网络学习到物理规律。
三、算法步骤
- 数据生成：在空间和时间域内随机采样点，包括内部点、初始时刻点、边界点。
- 网络构建：使用全连接层 + tanh 激活函数构建深层神经网络。
- 训练循环：
- 使用 Adam 优化器；
- 动态衰减学习率；
- 每轮计算损失（PDE + IC + BC）并反向传播。
- 预测与评估：
- 在测试网格上预测解；
- 与解析解比较，计算误差；
- 可视化结果和训练过程。
四、技术路线
- PINN 方法：将偏微分方程作为正则项嵌入神经网络损失函数中。
- 自动微分：使用
dlgradient计算高阶导数（如 ( u_{tt} ), ( u_{xxxx} )）。 - 加权多目标损失：为 IC 和 BC 分配更高权重，增强约束。
- 动态学习率衰减：提高训练稳定性。
五、公式原理
六、参数设定
| 参数 | 含义 | 值 |
|---|---|---|
L | 梁长度 | 1 |
T | 时间长度 | 1 |
numPDE | PDE 残差点数 | 1000 |
numIC | 初始条件点数 | 200 |
numBC | 边界条件点数 | 300 |
numEpochs | 训练轮数 | 1000 |
initialLR | 初始学习率 | 0.001 |
decayRate | 学习率衰减率 | 0.95 |
decaySteps | 衰减步长 | 100 |
七、运行环境
- 软件：MATLAB（需安装 Deep Learning Toolbox）
- 硬件：支持 CPU/GPU 训练（若可用，可加速）
- 版本：建议 R2021a 或更高版本（因使用
dlarray和dlnetwork）
总结
该代码使用 PINN 方法求解梁振动方程，通过将物理约束嵌入神经网络训练中，避免了传统数值方法对网格的依赖，适用于复杂边界/初始条件的问题。代码结构清晰，包含完整的训练、预测和可视化流程，适合作为 PINN 入门和实践案例。
