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AcWing 5933：爬楼梯 ← 递归 / 递推 / 高精度

news 来源：原创 2025/6/8 20:56:45

【题目来源】
https://www.acwing.com/problem/content/5936/

【题目描述】
树老师爬楼梯，他可以每次走 1 级或者 2 级，输入楼梯的级数，求不同的走法数。
例如：楼梯一共有 3 级，他可以每次都走一级，或者第一次走一级，第二次走两级，也可以第一次走两级，第二次走一级，一共 3 种方法。

【输入格式】
输入包含若干行，每行包含一个正整数 N，代表楼梯级数。

【输出格式】
不同的走法数，每一行输入对应一行输出。

【数据范围】
单个输入最多包含 30 组数据。
1≤N≤30。

【输入样例】
5
8
10

【输出样例】
8
34
89

【算法分析】
● 递归：https://oi-wiki.org/basic/divide-and-conquer/
递归的基本思想是某个函数直接或者间接地调用自身，这样原问题的求解就转换为了许多性质相同但是规模更小的子问题。求解时只需要关注如何把原问题划分成符合条件的子问题，而不需要过分关注这个子问题是如何被解决的。
明白递归函数的作用并相信它能完成这个任务，千万不要跳进这个函数里面企图探究更多细节，否则就会陷入无穷的细节无法自拔。

● 递推
递推法（recurrence method）是一种根据递推关系进行问题求解的方法，也是一种重要的数学方法，常用来进行序列计算。递推法能够将复杂的运算化解为若干重复的简单运算，充分发挥了计算机擅长重复处理的特点。
递推法通过初始条件，根据递推关系式，按照一定的规律逐项进行计算，直至得到结果。递推法有正推和逆推两种形式。无论正推还是逆推，关键都是要找到递推关系式。

● 高精度：https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/144703201
本题中 N≤30，问题规模较小，可以不用高精度。
但洛谷 P1255（https://www.luogu.com.cn/problem/P1255）与本题相比，除了 N 很大外极其类似，且需要用高精度。故用高精度也实现了一下此题。

【算法代码一：递归】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int f(int x) {
    if(x==0 || x==1) return 1;
    return f(x-1)+f(x-2);
}

int main() {
    int n;
    while(cin>>n) {
        cout<<f(n)<<endl;
    }
}

【算法代码二：递推】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn=35;
int f[maxn];
int n;

int main() {
    f[0]=1,f[1]=1;
    for(int i=2; i<=maxn; i++) {
        f[i]=f[i-1]+f[i-2];
    }
    while(cin>>n) {
        cout<<f[n]<<endl;
    }
}

【算法代码三：高精度】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

string hiAdd(string a,string b) {
    string c;
    int t=0;
    int i=a.size()-1,j=b.size()-1;
    while(i>=0 || j>=0) {
        if(i>=0) t=(a[i]-'0')+t;
        if(j>=0) t+=(b[j]-'0');
        c+=(t%10+'0');
        t/=10;
        i--,j--;
    }
    if(t!=0) c+=(t+'0');
    reverse(c.begin(),c.end());
    return c;
}

int main() {
    int n;
    while(cin>>n){
        string f[n+5];
        f[0]=f[1]="1";
        for(int i=2; i<=n; i++) {
            f[i]=hiAdd(f[i-1], f[i-2]);
        }
        cout<<f[n]<<endl;
    }

    return 0;
}

/*
in:
4

out:
5
*/

【参考文献】
https://www.acwing.com/solution/content/253657/
https://www.acwing.com/solution/content/254309/