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我们将分步骤完成建立全国各省会及一些主要城市的最简联通线路，利用 Prim 算法生成最小生成树，使用 Fleury 算法研究铁路线路回路方案，最后建立简单的哈密尔顿圈。
步骤 1：数据准备
首先，我们需要定义城市之间的连接信息和距离，这些信息将存储在邻接矩阵中。以下是一个简单的示例，假设我们有几个城市：
# 城市名称列表
cities = ["北京", "上海", "广州", "深圳", "成都"]# 邻接矩阵表示城市之间的距离
graph = [[0, 1000, 1800, 1900, 1500],[1000, 0, 1200, 1300, 1600],[1800, 1200, 0, 100, 1200],[1900, 1300, 100, 0, 1300],[1500, 1600, 1200, 1300, 0]
]
步骤 2：Prim 算法生成最小生成树
Prim 算法是一种贪心算法，用于在加权无向图中找到最小生成树。以下是实现代码：
import sysdef prim(graph):num_vertices = len(graph)# 用于记录顶点是否已被访问visited = [False] * num_vertices# 存储最小生成树的边mst = []# 选择第一个顶点作为起始点visited[0] = Truewhile len(mst) < num_vertices - 1:min_dist = sys.maxsizemin_edge = Nonefor i in range(num_vertices):if visited[i]:for j in range(num_vertices):if not visited[j] and graph[i][j] > 0 and graph[i][j] < min_dist:min_dist = graph[i][j]min_edge = (i, j)if min_edge:mst.append(min_edge)visited[min_edge[1]] = Truereturn mst# 生成最小生成树
mst = prim(graph)
print("最小生成树的边：", mst)
步骤 3：Fleury 算法生成欧拉回路
Fleury 算法用于在连通图中找到欧拉回路。以下是实现代码：
def is_bridge(graph, u, v):# 检查边 (u, v) 是否为桥temp_graph = [row[:] for row in graph]temp_graph[u][v] = 0temp_graph[v][u] = 0visited = [False] * len(graph)stack = [u]visited[u] = Truewhile stack:node = stack.pop()for neighbor in range(len(graph)):if temp_graph[node][neighbor] > 0 and not visited[neighbor]:stack.append(neighbor)visited[neighbor] = Truereturn not all(visited)def fleury(graph):num_vertices = len(graph)# 选择一个起始顶点start_vertex = 0circuit = []stack = [start_vertex]while stack:current_vertex = stack[-1]found_edge = Falsefor neighbor in range(num_vertices):if graph[current_vertex][neighbor] > 0:if len(stack) == 1 or not is_bridge(graph, current_vertex, neighbor):stack.append(neighbor)graph[current_vertex][neighbor] = 0graph[neighbor][current_vertex] = 0found_edge = Truebreakif not found_edge:circuit.append(stack.pop())return circuit# 复制最小生成树的图
mst_graph = [[0] * len(graph) for _ in range(len(graph))]
for u, v in mst:mst_graph[u][v] = graph[u][v]mst_graph[v][u] = graph[v][u]# 生成欧拉回路
euler_circuit = fleury(mst_graph)
print("欧拉回路：", euler_circuit)
步骤 4：建立简单的哈密尔顿圈
哈密尔顿圈是一个遍历图中每个顶点恰好一次并回到起始顶点的回路。由于找到哈密尔顿圈是一个 NP 完全问题，我们可以使用简单的暴力搜索方法。以下是实现代码：
from itertools import permutationsdef is_hamiltonian_cycle(graph, path):num_vertices = len(graph)if len(path) != num_vertices:return Falsefor i in range(num_vertices - 1):if graph[path[i]][path[i + 1]] == 0:return Falseif graph[path[-1]][path[0]] == 0:return Falsereturn Truedef find_hamiltonian_cycle(graph):num_vertices = len(graph)vertices = list(range(num_vertices))for perm in permutations(vertices[1:]):path = [vertices[0]] + list(perm)if is_hamiltonian_cycle(graph, path):path.append(path[0])return pathreturn None# 找到哈密尔顿圈
hamiltonian_cycle = find_hamiltonian_cycle(graph)
print("哈密尔顿圈：", hamiltonian_cycle)
总结
通过以上代码，我们完成了以下任务：
- 使用 Prim 算法生成了最小生成树。
- 使用 Fleury 算法生成了欧拉回路。
- 尝试找到了一个简单的哈密尔顿圈。
请注意，上述代码中的城市数据和距离是示例数据，你可以根据实际的全国各省会及主要城市的联通线路信息进行替换。同时，哈密尔顿圈的搜索方法是暴力搜索，对于大规模图可能效率较低。